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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Differentailgleichng:
[mm] (1+t^3)\frac{dy(t)}{dt}=3*{t^2}*y(t) [/mm] |
Hallo zusammen,
kann mir allenfalls jemand bei der Lösung behilflich sein?
Ich habe folgendes gemacht:
[mm] (1+t^3)\frac{dy(t)}{dt}=3*t^2*y(t) [/mm] | [mm] /(3t^2)
[/mm]
[mm] (t^{-2}+t)\frac{dy(t)}{dt}=y(t)
[/mm]
[mm] \frac{dy(t)}{y(t)}=\frac{dt}{t^{-2}+t}
[/mm]
Jetzt integrieren:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{dy(t)}{y(t)} }= \integral_{}^{}{\frac{dt}{t^{-2}+t} }
[/mm]
So weit bin ich gekommen.
Soweit bin ich gekommen. Stimmt das bis hier hin?
Wie soll das ganze jetzt in vernüftiger Zeit integriert werden? Das rechte Integral ist ja ziemlich komplex.
Gibt es einen einfacheren Weg?
Vielen Dank für die Hilfe
Gruss
Archimedes
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Hallo Archimedes,
> Lösen Sie folgende Differentailgleichng:
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> [mm](1+t^3)\frac{dy(t)}{dt}=3*{t^2}*y(t)[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> kann mir allenfalls jemand bei der Lösung behilflich
> sein?
Ich hätte da einen Vorschlag - allerdings ohne Gewehr - :
[mm](1+t^3)* \dot y =3*{t^2}*y(t)[/mm]
[mm] $\frac{1}{y} \; [/mm] dy = [mm] \frac{3*t^2}{1+t^3} \; [/mm] dt$
[mm] $\int \frac{1}{y} \; [/mm] dy = [mm] \int \frac{3*t^2}{1+t^3} \; [/mm] dt$
[mm] $ln|y|=ln|1+t^3|+C'$
[/mm]
[mm] $y=C*(1+t^3)$
[/mm]
Prüfe durch Logarithmieren & Ableiten, ob y(t) richtig ist.
> Ich habe folgendes gemacht:
>
> [mm](1+t^3)\frac{dy(t)}{dt}=3*t^2*y(t)[/mm] | [mm]/(3t^2)[/mm]
>
> [mm](t^{-2}+t)\frac{dy(t)}{dt}=y(t)[/mm]
>
> [mm]\frac{dy(t)}{y(t)}=\frac{dt}{t^{-2}+t}[/mm]
>
> Jetzt integrieren:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{dy(t)}{y(t)} }= \integral_{}^{}{\frac{dt}{t^{-2}+t} }[/mm]
>
> So weit bin ich gekommen.
>
> Soweit bin ich gekommen. Stimmt das bis hier hin?
>
> Wie soll das ganze jetzt in vernüftiger Zeit integriert
> werden? Das rechte Integral ist ja ziemlich komplex.
>
> Gibt es einen einfacheren Weg?
>
> Vielen Dank für die Hilfe
>
> Gruss
>
> Archimedes
LG, Martinius
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Hallo,
diesen Ansatz hatte ich auch schon. Ich verstehe aber die rechenweise der Integration nicht. Das Resultat finde ich auch selbst raus.
Kann mir niemand weiterhelfen?
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Hallo Archimedes,
ich vermute, dein Problem ist bei folgendem Term zu finden:
[mm] $\int \frac{3*t^2}{1+t^3} \; [/mm] dt$
Da musst Du an logarithmisches Ableiten (rückwärts) denken & und an die Kettenregel !
Aus diesem Grunde empfahl ich Dir das Ergebnis zu prüfen:
[mm] $y=C*(1+t^3)$
[/mm]
Logarithmiere:
[mm] $ln(y)=ln(C)+ln(1+t^3)$
[/mm]
Leite ab - unter Beachtung der Kettenregel (!) (= äußere Ableitung (Argument des Logarithmus naturalis wird zum Kehrbruch) mal innere Ableitung):
[mm] $\frac{1}{y}* \dot [/mm] y = Null [mm] \; [/mm] + [mm] \; \frac{1}{1+t^3} \; [/mm] mal [mm] \; [/mm] Ableitung [mm] \; [/mm] von [mm] \; (1+t^3)$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{y} [/mm] * [mm] \frac{dy}{dt}= \frac{1}{1+t^3} *(3*t^2)$
[/mm]
[mm] $\frac{dy}{y} [/mm] = [mm] \frac{3*t^2}{1+t^3} [/mm] * dt $
Mit der Zeit und fortschreitender Praxis erkennt man dann zu integrierende Brüche, bei denen im Zähler die Ableitung des Nenners steht, rasch wieder.
LG, Martinius
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