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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung
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Differentialgleichung: Aufgabe lösen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Mo 14.02.2011
Autor: Masseltof

Aufgabe
Berechnen Sie die Lösung der Differentialgleichung

y'=-sin(t)*y, y(0)=2

Welchen Wert hat die Lösung y für [mm] t=\bruch{\pi}{2}, t=\pi, t=2\pi [/mm]

Hallo.

Dies ist das erste Mal, dass ich mich an eine Differentialgleichung wage, weswegen ich gerne wissen würde, ob mein Rechenweg ok ist.

Gegeben ist die Gleichung y'=-sin(t)*y

Man sucht als eine Stammfunktion, die abgeleitet -sin(t) multipliziert mit der Stammfunktion selbst ergibt.

Meine Lösung wäre demnach: [mm] y=e^{cos(t)} [/mm]
Daraus würde folgen, dass [mm] y'=-sin(t)*e^{cos(t)}=-sin(t)*y [/mm] ist.

Ferner ist noch die Voraussetzung gegeben, dass y(0)=2 ist.
[mm] e^{cos(0)}=!2 [/mm] soll also gelten.

Es fehlt also noch eine Konstante:
[mm] e^{cos(0)}+C=2 C=2-e^{cos(0)}\approx-0.718 [/mm] auf 3.Nachkommastellen gerundet.

2.Teil der Aufgabe:

Sodass gilt:
[mm] y(\bruch{\pi}{2})=e^{cos(0.5\pi)}-0.718 [/mm]
[mm] y(\pi)=e^{cos(\pi)}-0.718 [/mm]
[mm] y(2\pi)=e^{cos(2\pi)}-0.718 [/mm]

Ist das so ok?

Viele Grüße und danke im Voraus.

        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Mo 14.02.2011
Autor: fred97


> Berechnen Sie die Lösung der Differentialgleichung
>  
> y'=-sin(t)*y, y(0)=2
>  
> Welchen Wert hat die Lösung y für [mm]t=\bruch{\pi}{2}, t=\pi, t=2\pi[/mm]
>  
> Hallo.
>  
> Dies ist das erste Mal, dass ich mich an eine
> Differentialgleichung wage, weswegen ich gerne wissen
> würde, ob mein Rechenweg ok ist.
>  
> Gegeben ist die Gleichung y'=-sin(t)*y
>  
> Man sucht als eine Stammfunktion, die abgeleitet -sin(t)
> multipliziert mit der Stammfunktion selbst ergibt.
>  
> Meine Lösung wäre demnach: [mm]y=e^{cos(t)}[/mm]


Das ist nur eine Lösung der DGL.

Die allgemeine Lösung lautet:

                   $y(t)= C* [mm] e^{cos(t)}$ [/mm]   ($C [mm] \in \IR$) [/mm]



>  Daraus würde folgen, dass [mm]y'=-sin(t)*e^{cos(t)}=-sin(t)*y[/mm]
> ist.
>  
> Ferner ist noch die Voraussetzung gegeben, dass y(0)=2
> ist.
>  [mm]e^{cos(0)}=!2[/mm] soll also gelten.
>  
> Es fehlt also noch eine Konstante:


Richtig, und wie das richtig geht habe ich oben geschrieben.

FRED



>  [mm]e^{cos(0)}+C=2 C=2-e^{cos(0)}\approx-0.718[/mm] auf
> 3.Nachkommastellen gerundet.
>  
> 2.Teil der Aufgabe:
>  
> Sodass gilt:
>  [mm]y(\bruch{\pi}{2})=e^{cos(0.5\pi)}-0.718[/mm]
>  [mm]y(\pi)=e^{cos(\pi)}-0.718[/mm]
>  [mm]y(2\pi)=e^{cos(2\pi)}-0.718[/mm]
>  
> Ist das so ok?
>  
> Viele Grüße und danke im Voraus.


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