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| Aufgabe | Lösen Sie die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators in zwei Dimensionen:
[mm] \xi \vec{r} ’’=-k\vec{r}
[/mm]
Bestimmen Sie zuerst die Ortskurven x(t) und y(t). Bestimmen Sie daraus die Bahnkurve y=y(x). |
Hallo zusammen,
(Die Ableitungsstriche sollen natürlich physikalische Punkte sein)
habe erstmal ein paar allgemeine Fragen, wie ich hier vorgehen muss:
Ich habe doch hier eine Differentialgleichung zweiter Ordnung z.B. für ein Fadenpendel vorliegen (das ist doch so ein zweidimensionaler Oszillator?!)
Was sagt mit diese Gleichung eigentlich?Was bedeutet [mm] \xi \vec{r} [/mm] ’’?
Normalerweise sollte anstatt [mm] \xi [/mm] da doch sowas wie eine Masse stehen, sodass gilt m*a?
Meine nächste Frage ist: Was ist hier der Unterschied zwischen den Ortskurven x(t), y(t) und der Bahnkurve y=y(x)??
Wie setze ich hier an, um auf diese Gleichungen zu kommen-raten?
Wäre über Denkansätze sehr dankbar!
Gruß
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Hallo!
Wenn man das mal ausschreibt, steht da doch
[mm]\xi\vektor{\ddot{x}(t)\\
\ddot{x}(t)}=-k\vektor{x{t}\\
y{t}}[/mm]
oder auch
[mm]\xi\ddot{x}(t)=-x(t)[/mm]
[mm]\xi\ddot{y}(t)=-y(t)[/mm]
Daß hier ein [mm] \xi [/mm] auftritt, ist egal. Es ist sowas wie eine Masse, wenn du willst. Aber solche Differenzialgleichungen treten auch bei Drehbewegungen auf, da wäre [mm] \xi [/mm] ein Trägheitsmoment, oder in der Elektronik beim LC-Schwingkreis usw.
Daher laß es einfach so stehen.
Generell solltest du wissen, wie die Lösung für [mm]\xi\ddot{x}(t)=-x(t)[/mm] aussieht, hier hast du nun zwei mal die Gleichung, also auch zwei mal die gleiche Lösung. Aber natürlich können die freien Parameter verschieden sein (Du schreibst nichts von Anfangswerten)
Wenn du die Lösung hast, kannst du versuchen, t zu eliminieren. Während die Lösung der DGL dir zu jedem Zeitpunkt den Aufenthaltsort verrät, gibt dir y(x) direkt alle Orte, an denen sich dein Pendel o.ä. aufhalten kann.
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Danke für die Antwort!
Für alle, die diesen Artikel zum ersten mal lesen: Es geht um einen harmonischen Oszillator in zwei Dimensionen und dessen Differentialgleichung:
[mm] \xi\ddot{r}(t)=-k\ddot{r}(t)
[/mm]
da [mm] \xi [/mm] und k ja Konstanten sind, habe ich sie der Einfachheit halber zu einer Konstanten Alpha zusammengefasst: [mm] \alpha:= \bruch{k}{\xi}, [/mm] das kann ich mir ja auch wenn „-k“ so definieren, wenn ich weiß, was es bedeutet?!
Dann bekomme ich für die Ortskurven x(t) und y(t):
[mm] \ddot{x}(t)=\alpha\dot{x}(t) [/mm] und
[mm] \ddot{y}(t)=\alpha\dot{y}(t)
[/mm]
so, nun geht es erstmal darum die Bahnkurve y(x) zu bestimmen: Dazu nehme ich doch die Bahnkurve x(t), löse die Differentialgleichung, löse nach „t“ auf und setze das in y(t) ein. (?!)
Für die allgemeine Lösung einer solchen DGL gilt doch:
x(t)=A [mm] sin(\omega [/mm] t)+B [mm] cos(\omega [/mm] t) (?)
Jetzt komme ich aber absolut nicht mehr weiter- was muss ich nun machen, um die DGL zu lösen, nach t aufzulösen?
Wäre für Hilfe dankbar!
Danke schonmal im Voraus!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. solltest du schreiben [mm] \omega^2)=k/\xi
[/mm]
Du hast ja nicht nur
x(t)=A $ [mm] sin(\omega [/mm] $ t)+B $ [mm] cos(\omega [/mm] $ t)
sondern auch
y(t)=C $ [mm] sin(\omega [/mm] $ t)+D $ [mm] cos(\omega [/mm] $ t)
nimm etwa die einfachen Anfangsbed. x(0)=a x'(0)=0 y(0)=0 [mm] y'(0)=v_0
[/mm]
dann hast du B=a A=0 ; D=0, [mm] C=v/\omega
[/mm]
dann hättest du
[mm] x(t)=acos(\omega*t)
[/mm]
[mm] y(t)=v/\omega*sin(\omega*t)
[/mm]
und [mm] x^2/a^2+y^2/(v/\omega)^2=1 [/mm] also ne Ellipse.
eine ellipse bekommst du auch bei anderen anfangsbed. nur ist die dann gedreht und nicht so leicht zu erkennen!
Wenn du irgendwas an nen faden hängst und es in Bewegung setzt nicht nur in einer Richtung, kannst du das auch beobachten!
Gruss leduart
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