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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr!
Da wir unsere Klausur nicht wirklich zu Gesicht bekommen, möchte ich doch bei einigen Aufgaben gerne wissen, ob ich es richtig gemacht habe, bzw. wie es richtig wäre.
Hier die erste Aufgabe der Nachklausur:
Bestimmen Sie alle Lösungen y(t), t>0 der folgenden Differentialgleichung:
y'''(t)+4y'(t)=0, [mm] \;t>0
[/mm]
Ich habe folgendes hingeschrieben:
Ansatz: [mm] y(t)=e^{\lambda t}
[/mm]
[mm] y'(t)=\lambda e^{\lambda t}
[/mm]
[mm] y''(t)=\lambda^2 e^{\lambda t}
[/mm]
[mm] y'''(t)=\lambda^3 e^{\lambda t}
[/mm]
einsetzen in die Differentialgleichung:
[mm] \lambda^3 e^{\lambda t}+4\lambda e^{\lambda t}=0
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \lambda e^{\lambda t}(\lambda^2+4)=0
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \lambda=0 \vee \lambda^2+4=0
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \lambda=0 \vee \lambda=\pm\wurzel{-4}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \lambda=0 \vee \lambda=\pm [/mm] 2i
Damit hätte ich dann als alle Lösungen:
y(t)=0
[mm] y(t)=e^{2it}
[/mm]
[mm] y(t)=e^{-2it}
[/mm]
ist das richtig so?
Für diese Aufgabe gab es übrigens 15 Punkte, für alle anderen nur 12 oder 13...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Bastiane,
werden nicht alle Lösungen durch die Linearkombination deiner drei speziellen Lösungen gebildet, also:
[mm] $y(t)=c_1\cdot [/mm] 1 + [mm] c_2 \cdot e^{2it}+ c_3 \cdot e^{-2it}$
[/mm]
Außerdem ist doch [mm] $y_1(t)=e^{0}=1$, [/mm] oder?
Max
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Hallo Bastiane,
Geht's nur um reelle Lösungen? Dann sollte die Antwort wohl
[mm] y(t)=C_1+C_2*sin(2x)+C_3*cos(2x) [/mm] heißen. Aber die Rechnung ist nat. erstmal richtig. Die Interpretation wäre eben [mm] e^0 [/mm] und das was Du hingeschrieben hast wäre quasi die "Basis" der möglichen Lösungen. Alle erhält man dann als Linearkombination der einzelnen Lösungen.
gruß
Spiellips
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Max |
Vor allem kann man meine ich mit [mm] $c_2e^{2it}+c_3e^{-2it}$ [/mm] je nach Anfangswert auch phasenverschobene Lösungen erhalten. Tatsächlich wird glaube ich $y(t)$ für reele Anfangswerte auch immer reell werden.
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo Bastiane,
ich hoffe, es klingt nicht überheblich, aber diese Aufgabe kann sogar ich im Kopf lösen: $z(t):=y'(t)$, Dgl wird [mm] $z''(t)+4\cdot [/mm] z(t)=0$, kennt man als Standardbeispiel: [mm] $z(t)=k_{1}cos(2 t)+k_{2}sin(2 [/mm] t)$ und um y zu erhalten, Stammfunktion davon [mm] finden:$y(t)=c_{1}sin(2t)+c_{2}cos(2t)+c_3$ [/mm] - fertig.
Oder hab ich mir da was zu einfach gemacht?
Alles Gute,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr!
Also langsam frage ich mich doch, ob ich überhaupt Punkte für diese Aufgabe bekommen habe...
> ich hoffe, es klingt nicht überheblich, aber diese Aufgabe
> kann sogar ich im Kopf lösen: [mm]z(t):=y'(t)[/mm], Dgl wird
> [mm]z''(t)+4\cdot z(t)=0[/mm], kennt man als Standardbeispiel:
> [mm]z(t)=k_{1}cos(2 t)+k_{2}sin(2 t)[/mm] und um y zu erhalten,
> Stammfunktion davon
> finden:[mm]y(t)=c_{1}sin(2t)+c_{2}cos(2t)+c_3[/mm] - fertig.
Also, auf so etwas wäre ich ja überhaupt nicht gekommen... Und dass das das Standardbeispiel ist, wäre mir auch nicht eingefallen. Meint ihr denn, dass die mit so etwas gerechnet haben? Oder haben die schon damit gerechnet, dass es viele mögliche Lösungen gibt?
Es gab 15 Punkte für die Aufgabe, insgesamt gab es 8 Aufgaben und zusammen 100 Punkte - wir hatten [mm] 3\bruch{1}{2} [/mm] Zeitstunden Zeit. Was schätzt ihr ungefähr, wie viele Punkte ich da für meine Lösung bekommen habe?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:04 Do 14.04.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hi Christiane,
wenn Du die Linearkombination vergessen hast, sollten dennoch 13-14 von den 15 drin sein. Alles andere ist ja richtig (wenn Du wirklich [mm] $y_1=1$ [/mm] hast und nicht [mm] $y_1=0$ [/mm] (das sollte aber nur einen Punkt Abzug geben, da Flüchtigkeitsfehler)).
[mm] ${toi}^3$,
[/mm]
Peter
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