Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 01:52 Do 10.03.2005 | | Autor: | traxi |
Hallo,
ich würde mich freuen, wenn ihr mir eine komplette Lösung zusenden könntet!!
Gegeben sei die Differentialgleichung ("Gompertz" - Gleichung, nach dem gleichnamigen Wachstumsmodell)
Hier die Aufgabenteile:
a) Bestimmen Sie den Gleichgewichtspunkt und dessen Stabilitätseigenschaften in Abhängigkeit der Parameter.
b) Lösen Sie das Anfangswertproblem mit Hilfe der Substitution z= ln y
c) Was ergibt sich für lim t gegen unendlich y(t) und k größer 0?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Sa 26.03.2005 | | Autor: | GuinMan |
Hi traxi,
ich muß dich leider gleich am Anfang meines Postings enttäuschen, aber ich habe auch ein Problem mit genau der selben Aufgabe un es würde mich freuen, wenn du mir deine Fortschritte mal Mailen könntest, oder antworte einfach gleich hier.
Wenn ich weiter komme, werde ich mich auch hier melden,
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Falls ihr da inzwischen weitergekommen seid, würd ich mich über die "Lösung" oder Ansätze auch freuen - danke.
Lars
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Hallo Lars,
Hier sind doch einige Fragen offen:
z.B. Wie sieht die DGL überhaupt aus?
Welche Ideen hast Du denn schon?
gruß
mathemaduenn
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Hallo,
also, die Gleichung um die es geht lautet:
[mm]
\dot y = ky (a - \ln(y))
k \ne 0
y(0) = y_0 > 0
[/mm]
Erstmal zu Punkt a)
Gleichgewichtspunkt dachte ich mir, müsste sich über
[mm]
0 = k*y (a - \ln(y))
...
0 = k*a*y - k*y*\ln(y)
...
1 = e^{k*a} - y^k
...
\bar y = (e^{k*a} - 1)^{-1}
[/mm]
bestimmen lassen?
Zur Stabilität wollte ich mir die Jacobi-Matrix vornehmen
[mm]
DF(y) = (k*a - k*\ln(y) - k)
DF(y) = k*s - k*\ln(\bruch{1}{e^{ka}-1}) - k
[/mm]
Jetzt müsste ich noch nachweisen, ob halt alle EW der Jacobi-Matrix negativ sind, oder halt beweisen, dass es einen positiven EW geben kann ... mal vorrausgesetzt, dass das andere natürlich überhaupt richtig ist ...
Lars
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So, zu den Teilen b) c)
Teil c) sollte ja, hat man b) gelöst, durch eine Limes-Betrachtung einfach feststellbar sein, nur man braucht erstmal y(t) und das ist noch so eine Sache, auch der Tipp mit der Substitution z = ln(y) hilft mir noch nicht soviel weiter:
Einfach so ersetzen?
[mm]\dot y = k*y*(a-\ln (y))[/mm]
[mm]\dot y = k*(a-z)*y[/mm]
Nun gibts m. E. 2 Varianten, die aber beide noch irgendwie zu nichts führen:
a)
[mm]y(t)=y_0*e^{(k*(a-z))(t-t_0)}[/mm]
Wobei, wenn ich da jetzt das z wieder ersetze, habe ich in der Gleichung ja wieder das y drin ...
b) oder muss ich das, weil das z sozusagen ja noch immer von t abhängt, wie folgt machen ...
[mm]y(t)=y_0*\e^{A(t)}[/mm]
mit [mm]A(t) = \integral_{t_0}^{t} a(s)\, ds[/mm] und dann [mm]A(t) = \integral_{t_0}^{t} (ka-kz)\, dz[/mm] - aber dann, wie bilde ich die Stammfunktion und wann muss ich das z wieder zurück-substituieren ...
Fragen über Fragen, für die ich leider keine Antwort habe :-/
Lars
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Hallo Lars,
Beim Substituieren sollten schon alle y und y' "wegsubstituiert" werden.
[mm]y=e^z[/mm]
[mm]y'=e^z*z'[/mm]
Dann erhälst Du eine lösbare DGL.
gruß
mathemaduenn
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Hallo Lars,
> Gleichgewichtspunkt dachte ich mir, müsste sich über
>
> [mm]0 = k*y (a - \ln(y))[/mm]
Genau und ein Produkt ist Null wenn einer der Faktoren.....
0 = k*a*y - [mm] k*y*\ln(y) [/mm] Durch k darfst Du immer teilen durch y eben nicht immer
...
1 = [mm] e^{k*a} [/mm] - [mm] y^k [/mm] statt Minus durch
...
[mm] \bar [/mm] y = [mm] (e^{k*a} [/mm] - [mm] 1)^{-1} [/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
[/mm]
>
> bestimmen lassen?
>
> Zur Stabilität wollte ich mir die Jacobi-Matrix vornehmen
>
> DF(y) = (k*a - [mm] k*\ln(y) [/mm] - k)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wobei "Matrix" etwas übertrieben klingt.
> DF(y) = k*s - [mm] k*\ln(\bruch{1}{e^{ka}-1}) [/mm] - k
Das nat. jetzt falsch s.o. aber das Prinzip stimmt.
> Jetzt müsste ich noch nachweisen, ob halt alle EW der
> Jacobi-Matrix negativ sind, oder halt beweisen, dass es
> einen positiven EW geben kann ... mal vorrausgesetzt, dass
> das andere natürlich überhaupt richtig ist ...
Hast Du dir schon klar gemacht was diese Aussage für eine (1,1) bedeutet?
gruß
mathemaduenn
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