Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung - Vorkurse

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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung

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Differentialgleichung: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:47 Sa 30.08.2008
Autor:	jokerose

Aufgabe

 Bestimmen Sie alle Lösungen der Diffgleichung

y' = sin(2x) - y*sin(x)

Ich habe zuerst y' = -y*sin(x) gelöst.
Da habe ich y = [mm] e^{cos(x)}*e^c [/mm] erhalten. (c ist die Konstante)

Danach habe ich mittels Variation der Konstanten weitergemacht. Auf diese Weise habe ich

c'(x) = [mm] \bruch{sin(2x)}{e^{cos(x)}} [/mm] erhalten.
Kann das wohl stimmen?
Wenn ja, wie kann ich dann aber danach das Integral lösen um c(x) zu erhalten?

Bezug

Differentialgleichung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:00 Sa 30.08.2008
Autor:	schachuzipus

Hallo jokerose,

> Bestimmen Sie alle Lösungen der Diffgleichung
>
> y' = sin(2x) - y*sin(x)
>  Ich habe zuerst y' = -y*sin(x) gelöst.
>  Da habe ich y = [mm]e^{cos(x)}*e^c[/mm] erhalten. (c ist die
> Konstante)

Da [mm] $e^c$ [/mm] konstant ist, kannst du das noch etwas vereinfacht schreiben mit [mm] $C:=e^c$ [/mm]

[mm] $y=C\cdot{}e^{\cos(x)}$ [/mm]

>
> Danach habe ich mittels Variation der Konstanten
> weitergemacht. Auf diese Weise habe ich
>
> c'(x) = [mm]\bruch{sin(2x)}{e^{cos(x)}}[/mm] erhalten.
> Kann das wohl stimmen?

jo, das sieht gut aus!

> Wenn ja, wie kann ich dann aber danach das Integral lösen
> um c(x) zu erhalten?

Schreibe es als [mm] $\sin(2x)\cdot{}e^{-\cos(x)}$ [/mm]

Dann bemühe mal das Additionstheorem für den Sinus, dann kannst du [mm] $\sin(2x)$ [/mm] schreiben als ...

Dann substituiere [mm] $u:=-\cos(x)$ [/mm]

Das läuft auf ein Integral heraus, das du dann schnell mit partieller Integration in den Griff bekommst.

Das hört sich jetzt alles wüst an, ist es aber nicht, schreib's dir einfach mal hin ;-)