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| Aufgabe | Man gebe die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
x''''-5x''+4x=10*cos(t)
an. |
meine vorgehensweise:
charakteristisches Polynom:
[mm] \lambda^4-5*\lambda^2+4=0
[/mm]
Hornerschema:
[mm] \lambda_1=1 [/mm]
[mm] \lambda_2=-1
[/mm]
[mm] \lambda_3=2
[/mm]
[mm] \lambda_4=-2 [/mm]
[mm] x_h(t)=C_1*e^t [/mm] + [mm] C_2*e^{-t} [/mm] + [mm] C_3*e^{2t} [/mm] + [mm] C_4*e^{-2t}
[/mm]
Probe:
[mm] x'_h(t)=C_1*e^{t} [/mm] + [mm] C_2*e^{-t} [/mm] + [mm] 2C_3*e^{2t} [/mm] - [mm] 2C_4*e^{-2t}
[/mm]
[mm] x''_h(t)=C_1*e^t [/mm] + [mm] C_2*e^{-t} [/mm] + [mm] 4*C_3*e^{2t} [/mm] + [mm] 4*C_4*e^{-2t}
[/mm]
[mm] x'''_h(t)=C_1*e^t [/mm] - [mm] C_2*e^{-t} [/mm] + [mm] 8C_3*e^{2t} [/mm] - [mm] 8C_4*e^{-2t}
[/mm]
[mm] x''''_h(t)=C_1*e^t [/mm] + [mm] C_2*e^t [/mm] + [mm] 16*C_3*e^{2t} [/mm] + [mm] 16*C_4*e^{-2t}
[/mm]
x''': [mm] C_1*e^t [/mm] + [mm] C_2*e^t [/mm] + [mm] 16*C_3*e^{2t} [/mm] + [mm] 16*C_4*e^{-2t}
[/mm]
-5x'': [mm] -5C_1*e^t [/mm] - [mm] 5C_2*e^{-t} [/mm] - 20 [mm] C_3*e^{2t} [/mm] - [mm] 20*C_4*e^{-2t}
[/mm]
x: [mm] C_1*e^t [/mm] + [mm] C_2*e^{-t} [/mm] + [mm] C_3*e^{2t} [/mm] + [mm] C_4*e^{-2t}
[/mm]
aufsummierung von x'''' - 5x'' + x ergibt aber nicht null sondern:
[mm] -3C_1*e^t [/mm] - [mm] 3C_2*e^{-t} [/mm] - [mm] 3C_3*e^{2t} [/mm] - [mm] 3C_4*e^{-2t}
[/mm]
Mein zweites Problem ist, dass ich mir nicht sicher bin wie ich die gleichung für die partikuläre lösung aufstellen muss wegen der 10:
vielleicht:
[mm] x_p(t)= 10*\beta_0*cos(t) [/mm] + [mm] 10*\beta_1*sin(t) [/mm] ????
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Di 26.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Dein [mm] x_h(t) [/mm] ist richtig.
Bei der Probe hast du öfter mal falsche/fehlende Vorzeichen.
Dein Fehler, warum es sich nicht zu Null aufaddiert, ist, dass du statt 4x nur 1x addierst.
Wegen der partikulären Lösung... sagt dir Variation der Konstanten was? Wenn nein, dann kannste z.B. bei Wikipedia nachschauen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 Di 26.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Ansatz fuer die Loesg. der inhomogenen ist richtig. Ich liesse die 10 vor den Konstanten weg, denn 10*K=c.
Gruss leduart
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jetzt geht meine probe auch auf.
variation der konstanten möcht ich nur anwenden wenns nicht anders geht, ansonsten versuch ichs immer zuerst mit der ansatzmethode, weil man hier keine intergale lösen braucht und dies dann find ich der einfachere weg ist. der nachteil ist natürlich, dass die ansatzmethode nicht immer funktioniert im gegensatz zu variation der konstanten.
also gut dann wäre meine partikuläre lösung:
[mm] x_p(t)=\beta_0*cos(t)+\beta_1*sin(t)
[/mm]
[mm] x_p'(t)=-\beta_0*sin(t)+\beta_1*cos(t)
[/mm]
[mm] x_p''(t)=-\beta_0*cos(t)-\beta_1*sin(t)
[/mm]
[mm] x_p'''(t)=\beta_0*sin(t)-\beta_1*cos(t)
[/mm]
[mm] x_p''''(t)=\beta_0*cos(t)+\beta_1*sin(t)
[/mm]
Einsetzen von [mm] x_p(t), x_p''(t), x_p''''(t) [/mm] in die DGL:
[mm] 10\beta_0*cos(t)+10\beta_1*sin(t)\hat=10*cos(t)
[/mm]
cos(t): [mm] 10*\beta_0=10
[/mm]
sin(t): [mm] 10*\beta_1=0
[/mm]
[mm] \beta_0=1
[/mm]
[mm] \beta_1=0
[/mm]
[mm] x_p(t)=cos(t)
[/mm]
Allgemeine Lösung:
[mm] x(t)=x_h(t)+x_p(t)
[/mm]
[mm] x(t)=C_1*e^t+C_2*e^{-t}+C_3*e^{2t}+C_4*e^{-2t}+cos(t)
[/mm]
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Di 26.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> jetzt geht meine probe auch auf.
> variation der konstanten möcht ich nur anwenden wenns nicht
> anders geht, ansonsten versuch ichs immer zuerst mit der
> ansatzmethode, weil man hier keine intergale lösen braucht
> und dies dann find ich der einfachere weg ist. der nachteil
> ist natürlich, dass die ansatzmethode nicht immer
> funktioniert im gegensatz zu variation der konstanten.
>
> also gut dann wäre meine partikuläre lösung:
>
> [mm]x_p(t)=\beta_0*cos(t)+\beta_1*sin(t)[/mm]
>
> [mm]x_p'(t)=-\beta_0*sin(t)+\beta_1*cos(t)[/mm]
>
> [mm]x_p''(t)=-\beta_0*cos(t)-\beta_1*sin(t)[/mm]
>
> [mm]x_p'''(t)=\beta_0*sin(t)-\beta_1*cos(t)[/mm]
>
> [mm]x_p''''(t)=\beta_0*cos(t)+\beta_1*sin(t)[/mm]
>
>
> Einsetzen von [mm]x_p(t), x_p''(t), x_p''''(t)[/mm] in die DGL:
>
> [mm]10\beta_0*cos(t)+10\beta_1*sin(t)\hat=10*cos(t)[/mm]
>
> cos(t): [mm]10*\beta_0=10[/mm]
> sin(t): [mm]10*\beta_1=0[/mm]
>
> [mm]\beta_0=1[/mm]
> [mm]\beta_1=0[/mm]
>
> [mm]x_p(t)=cos(t)[/mm]
>
> Allgemeine Lösung:
>
> [mm]x(t)=x_h(t)+x_p(t)[/mm]
>
> [mm]x(t)=C_1*e^t+C_2*e^{-t}+C_3*e^{2t}+C_4*e^{-2t}+cos(t)[/mm]
>
> richtig?
Jepp, mein Mathematika hat das auch raus ^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Di 26.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
cool ^^ thx.
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