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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mo 28.04.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | Bringe folgende Differentialformen auf Normalform und berechne die äußeren Ableitungen:
(i) [mm] (1+x^2)^{-2}d(x+\bruch{1}{3}x^3)\wedge [/mm] dy [mm] \wedge d((1+x^2)z)
[/mm]
(ii) exp(x+y+z)d(exp(x+y+z))
(iii) d(xyz)
(iv) [mm] d(x_{1}+x_{2}) \wedge d(x_{3}+x_{4}) [/mm] |
Hallo liebe Mathefreunde,
ich komme mal wieder bei einer Aufgabe aus der Analysis III Vorlesung nicht weiter, weil ich den Stoff noch nicht so ganz peile :( *heul*
Könnt ihr mir vielleicht erklären, wie ich die Normalform bestimmen kann? Und was ist genau die äußere Ableitung?
Die Normalform oder auch Grundform von [mm] \psi [/mm] ist folgendermaßen definiert:
[mm] \summe_{1\le i1<...
Aber irgendwie verstehe ich noch nicht so ganz, was das [mm] a_{i1...ip} [/mm] bedeuten soll und was das mit dem [mm] "\wedge" [/mm] auf sich hat ... :-(
Wäre echt lieb, wenn mir jemand das erklären könnte bzw. ein paar Tips zu obiger Aufgabe geben könnte.
Vielen Dank schon mal im Voraus,
Lg Kittycat
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Hallo kittycat,
> Bringe folgende Differentialformen auf Normalform und
> berechne die äußeren Ableitungen:
>
> (i) [mm](1+x^2)^{-2}d(x+\bruch{1}{3}x^3)\wedge[/mm] dy [mm]\wedge d((1+x^2)z)[/mm]
>
> (ii) exp(x+y+z)d(exp(x+y+z))
>
> (iii) d(xyz)
>
> (iv) [mm]d(x_{1}+x_{2}) \wedge d(x_{3}+x_{4})[/mm]
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> ich komme mal wieder bei einer Aufgabe aus der Analysis III
> Vorlesung nicht weiter, weil ich den Stoff noch nicht so
> ganz peile :( *heul*
>
> Könnt ihr mir vielleicht erklären, wie ich die Normalform
> bestimmen kann? Und was ist genau die äußere Ableitung?
Die äußere Ableitung ist ein Differentialoperator:
[mm]\left[d \wedge \omega \right]:=\left[\left(\bruch{\partial}{\partial x_{1}} dx_{1}+\ \dots \ +\bruch{\partial}{\partial x_{n}} dx_{n}\right) \wedge \omega \right][/mm]
[mm]:=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1, \ k \not= j}^{n}\left[\left(\bruch{\partial f_{j}}{\partial x_{k}} dx_{k}\right)\wedge dx_{j}\right]=\summe_{j=1}^{n}\left[df_{j} \wedge dx_{j}\right][/mm]
Beachte, daß
[mm]dF=\bruch{\partial F}{\partial x_{1}} dx_{1}+ \ \dots \ + \ \bruch{\partial F}{\partial x_{n}} dx_{n}[/mm]
Weiterhin beachte, daß [mm]\left[dx_{i} \wedge dx_{i}\right] = 0 [/mm]
>
> Die Normalform oder auch Grundform von [mm]\psi[/mm] ist
> folgendermaßen definiert:
>
> [mm]\summe_{1\le i1<...
> [mm]\wedge dx_{ip}[/mm]
>
> Aber irgendwie verstehe ich noch nicht so ganz, was das
> [mm]a_{i1...ip}[/mm] bedeuten soll und was das mit dem [mm]"\wedge"[/mm] auf
> sich hat ... :-(
Das sind dann die Volumenelemente.
[mm]dx \ dy = dV_{2}\left(x,y\right) =\left[dx \wedge dy\right][/mm]
[mm]dx \ dy \ dz = dV_{3}\left(x,y,z\right)=\left[dx \wedge dy \wedge dz\right][/mm]
>
> Wäre echt lieb, wenn mir jemand das erklären könnte bzw.
> ein paar Tips zu obiger Aufgabe geben könnte.
> Vielen Dank schon mal im Voraus,
>
> Lg Kittycat
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mo 28.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
vielen Dank für deine schnelle Antwort und die Erklärungen 
> Die äußere Ableitung ist ein Differentialoperator:
>
> [mm]\left[d \wedge \omega \right]:=\left[\left(\bruch{\partial}{\partial x_{1}} dx_{1}+\ \dots \ +\bruch{\partial}{\partial x_{n}} dx_{n}\right) \wedge \omega \right][/mm]
>
> [mm]:=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1, \ k \not= j}^{n}\left[\left(\bruch{\partial f_{j}}{\partial x_{k}} dx_{k}\right)\wedge dx_{j}\right]=\summe_{j=1}^{n}\left[df_{j} \wedge dx_{j}\right][/mm]
>
> Beachte, daß
>
> [mm]dF=\bruch{\partial F}{\partial x_{1}} dx_{1}+ \ \dots \ + \ \bruch{\partial F}{\partial x_{n}} dx_{n}[/mm]
>
> Weiterhin beachte, daß [mm]\left[dx_{i} \wedge dx_{i}\right] = 0[/mm]
Ok, aber was mache ich nun mit den ganzen Buchstaben? Ich sehe irgendwie überhaupt keinen Bezug zu der Aufgabe? Wie wende ich jetzt dieses Wissen auf die obige Aufgabe an?
Ist [mm] \omega [/mm] meine Differentialform?
> > Die Normalform oder auch Grundform von [mm]\psi[/mm] ist
> > folgendermaßen definiert:
> >
> > [mm]\summe_{1\le i1<...
> > [mm]\wedge dx_{ip}[/mm]
> >
> > Aber irgendwie verstehe ich noch nicht so ganz, was das
> > [mm]a_{i1...ip}[/mm] bedeuten soll und was das mit dem [mm]"\wedge"[/mm] auf
> > sich hat ... :-(
>
> Das sind dann die Volumenelemente.
>
> [mm]dx \ dy = dV_{2}\left(x,y\right) =\left[dx \wedge dy\right][/mm]
>
> [mm]dx \ dy \ dz = dV_{3}\left(x,y,z\right)=\left[dx \wedge dy \wedge dz\right][/mm]
Gibt es irgendwo eine Beispielaufgabe, damit man wenigstens sehen kann, was hier von einem verlangt wird?
Irgendwie klappt bei mir der Sprung von der Theorie zur Aufgabe nicht .... *HILFE*
Lg Kittycat
p.s.: Es ist ja anscheinend eine Standardrechenaufgabe, aber ich konnte in keinem der vielen Bücher, die ich durchforstet habe, auch nur eine Beispielaufgabe finden :-(
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort und die Erklärungen
>
>
> > Die äußere Ableitung ist ein Differentialoperator:
> >
> > [mm]\left[d \wedge \omega \right]:=\left[\left(\bruch{\partial}{\partial x_{1}} dx_{1}+\ \dots \ +\bruch{\partial}{\partial x_{n}} dx_{n}\right) \wedge \omega \right][/mm]
>
> >
> > [mm]:=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1, \ k \not= j}^{n}\left[\left(\bruch{\partial f_{j}}{\partial x_{k}} dx_{k}\right)\wedge dx_{j}\right]=\summe_{j=1}^{n}\left[df_{j} \wedge dx_{j}\right][/mm]
>
> >
> > Beachte, daß
> >
> > [mm]dF=\bruch{\partial F}{\partial x_{1}} dx_{1}+ \ \dots \ + \ \bruch{\partial F}{\partial x_{n}} dx_{n}[/mm]
>
> >
> > Weiterhin beachte, daß [mm]\left[dx_{i} \wedge dx_{i}\right] = 0[/mm]
>
> Ok, aber was mache ich nun mit den ganzen Buchstaben? Ich
> sehe irgendwie überhaupt keinen Bezug zu der Aufgabe? Wie
> wende ich jetzt dieses Wissen auf die obige Aufgabe an?
>
> Ist [mm]\omega[/mm] meine Differentialform?
>
> > > Die Normalform oder auch Grundform von [mm]\psi[/mm] ist
> > > folgendermaßen definiert:
> > >
> > > [mm]\summe_{1\le i1<...
> > > [mm]\wedge dx_{ip}[/mm]
> > >
> > > Aber irgendwie verstehe ich noch nicht so ganz, was das
> > > [mm]a_{i1...ip}[/mm] bedeuten soll und was das mit dem [mm]"\wedge"[/mm] auf
> > > sich hat ... :-(
> >
> > Das sind dann die Volumenelemente.
> >
> > [mm]dx \ dy = dV_{2}\left(x,y\right) =\left[dx \wedge dy\right][/mm]
>
> >
> > [mm]dx \ dy \ dz = dV_{3}\left(x,y,z\right)=\left[dx \wedge dy \wedge dz\right][/mm]
>
>
> Gibt es irgendwo eine Beispielaufgabe, damit man wenigstens
> sehen kann, was hier von einem verlangt wird?
> Irgendwie klappt bei mir der Sprung von der Theorie zur
> Aufgabe nicht .... *HILFE*
>
> Lg Kittycat
>
> p.s.: Es ist ja anscheinend eine Standardrechenaufgabe,
> aber ich konnte in keinem der vielen Bücher, die ich
> durchforstet habe, auch nur eine Beispielaufgabe finden :-(
Ok.
Dann also eine Beispielaufgabe:
Sind [mm]P=P\left(x,y\right)[/mm] und [mm]Q=Q\left(x,y\right)[/mm] Funktionen von zwei Veränderlichen.
Dann ist die äußere Ableitung;
[mm]\left[dP \wedge dQ] = \left[\left(P_{x}\ dx+ P_{y} \ dy \right) \wedge \left(Q_{x}\ dx+ Q_{y} \ dy \right)\right][/mm]
[mm]=P_{x}*Q_{x} \left[{dx \wedge dx\right] + P_{x}*Q_{y} \left[dx \wedge dy\right] + P_{y}*Q_{x} \left[dy \wedge dx \right] + P_{y}*Q_{y} \left[dy \wedge dy][/mm]
[mm]=P_{x}*Q_{y} \left[dx \wedge dy\right] + P_{y}*Q_{x} \left[dy \wedge dx \right][/mm]
[mm]=\left(P_{x}*Q_{y}-P_{y}*Q_{x}\right) \left[dx \wedge dy\right] [/mm]
Das was Du hier berechnet hast, ist die Determinante der Matrix
[mm]\pmat{P_{x} & P_{y} \\ Q_{x} & Q_{y}}[/mm]
Dies ist die Jacobi-Matrix von [mm]f\left(x,y\right)=\pmat{P\left(x,y\right) \\ Q\left(x,y\right)}[/mm]
Und die Jacobi-Matrix verwendet man in der Regel für Parametertransformationen.
Für Differentialformen höheren Grades läuft das analog.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Di 29.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
vielen Dank für das Beispiel ... so langsam wird alles etwas klarer
Also, was die Aufgabe angeht, muss ich ja erst einmal die Differentialformen umschreiben, damit ich sie in der Form
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i1 ...ip}dx_{i1} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge dx_{ip}
[/mm]
habe, das ist doch dann auch schon die Normalform, oder?
Und dann kann ich von der Normalform die äußere Ableitung bestimmen. Ist diese Idee nun richtig?
Beim Umformen oder Umschreiben, muss ich ja die bestimmten Rechenregeln, die für das [mm] \wedge [/mm] und das d gelten, gebrauchen.
Ich habe es nun so umgestellt (wäre echt schön, wenn du/jemand es nochmal überprüfen könnte ):
(i) [mm] \bruch{1+2x^2+x^4}{(1+x^2)^2} [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz
(ii) exp(2x+2y+z)dexp(z)+ exp(2x+2z+y)dexp(y) + exp(x+2y+2z)dexp(x)
(das sieht allerdings noch komisch aus, aber ich weiß nicht wie ich das sonst noch umstellen kann)
(iii) xydz + xzdy+ yzdx
(iv) [mm] dx_{1}\wedge dx_{3} [/mm] + [mm] dx_{1}\wedge dx_{4} [/mm] + [mm] dx_{2}\wedge dx_{3} [/mm] + [mm] dx_{2}\wedge dx_{4}
[/mm]
Stimmt das so in etwa?
Lg Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
> vielen Dank für das Beispiel ... so langsam wird alles
> etwas klarer
>
> Also, was die Aufgabe angeht, muss ich ja erst einmal die
> Differentialformen umschreiben, damit ich sie in der Form
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i1 ...ip}dx_{i1} \wedge[/mm] ... [mm]\wedge dx_{ip}[/mm]
>
> habe, das ist doch dann auch schon die Normalform, oder?
>
> Und dann kann ich von der Normalform die äußere Ableitung
> bestimmen. Ist diese Idee nun richtig?
Was Du hier brauchst sind die ![[]](/images/popup.gif) vollständigen Differentiale einer Funktion F.
[mm]dF=\bruch{\partial F}{\partial x_{1}} \ dx_{1}+ \ \dots \ + \bruch{\partial F}{\partial x_{n}} \ dx_{n}[/mm]
Dies dann in die gegebene Differentialform einsetzen.
>
> Beim Umformen oder Umschreiben, muss ich ja die bestimmten
> Rechenregeln, die für das [mm]\wedge[/mm] und das d gelten,
> gebrauchen.
Ja.
>
> Ich habe es nun so umgestellt (wäre echt schön, wenn
> du/jemand es nochmal überprüfen könnte ):
>
> (i) [mm]\bruch{1+2x^2+x^4}{(1+x^2)^2}[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dz
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das vereinfacht sich zu: [mm]dx \wedge dy \wedge dz[/mm]
>
> (ii) exp(2x+2y+z)dexp(z)+ exp(2x+2z+y)dexp(y) +
> exp(x+2y+2z)dexp(x)
> (das sieht allerdings noch komisch aus, aber ich weiß
> nicht wie ich das sonst noch umstellen kann)
Es gilt ja
[mm]dexp\left(x\right)=exp\left(x\right) \ dx[/mm]
[mm]dexp\left(y\right)=exp\left(y\right) \ dy[/mm]
[mm]dexp\left(z\right)=exp\left(z\right) \ dz[/mm]
So daß sich das obige zusammenfassen läßt zu:
[mm]=exp\left(2x+2y+2z\right) \ \left(dx + dy + dz \right)[/mm]
>
> (iii) xydz + xzdy+ yzdx
>
> (iv) [mm]dx_{1}\wedge dx_{3}[/mm] + [mm]dx_{1}\wedge dx_{4}[/mm] +
> [mm]dx_{2}\wedge dx_{3}[/mm] + [mm]dx_{2}\wedge dx_{4}[/mm]
>
> Stimmt das so in etwa?
>
> Lg Kittycat
>
>
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 29.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
mmmh, irgendwie peil ich immer noch nicht so ganz wo ich die vollständigen Differentiale brauche bzw. einsetzen muss.
Das f taucht bei mir ja nirgends auf ....
oder ist f zum Beipiel mein exp(2x+2y+2z) in Teilaufgabe(ii)???
> > Also, was die Aufgabe angeht, muss ich ja erst einmal die
> > Differentialformen umschreiben, damit ich sie in der Form
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i1 ...ip}dx_{i1} \wedge[/mm] ... [mm]\wedge dx_{ip}[/mm]
>
> >
> > habe, das ist doch dann auch schon die Normalform, oder?
> >
> > Und dann kann ich von der Normalform die äußere Ableitung
> > bestimmen. Ist diese Idee nun richtig?
>
> Was Du hier brauchst sind die
> vollständigen Differentiale
> einer Funktion F.
>
> [mm]dF=\bruch{\partial F}{\partial x_{1}} \ dx_{1}+ \ \dots \ + \bruch{\partial F}{\partial x_{n}} \ dx_{n}[/mm]
>
> Dies dann in die gegebene Differentialform einsetzen.
>
> >
> > Beim Umformen oder Umschreiben, muss ich ja die bestimmten
> > Rechenregeln, die für das [mm]\wedge[/mm] und das d gelten,
> > gebrauchen.
>
> Ja.
>
> >
> > Ich habe es nun so umgestellt (wäre echt schön, wenn
> > du/jemand es nochmal überprüfen könnte ):
> >
> > (i) [mm]\bruch{1+2x^2+x^4}{(1+x^2)^2}[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dz
>
>
>
> Das vereinfacht sich zu: [mm]dx \wedge dy \wedge dz[/mm]
>
> >
> > (ii) exp(2x+2y+z)dexp(z)+ exp(2x+2z+y)dexp(y) +
> > exp(x+2y+2z)dexp(x)
>
>
>
> > (das sieht allerdings noch komisch aus, aber ich weiß
> > nicht wie ich das sonst noch umstellen kann)
>
> Es gilt ja
>
> [mm]dexp\left(x\right)=exp\left(x\right) \ dx[/mm]
>
> [mm]dexp\left(y\right)=exp\left(y\right) \ dy[/mm]
>
> [mm]dexp\left(z\right)=exp\left(z\right) \ dz[/mm]
>
> So daß sich das obige zusammenfassen läßt zu:
>
> [mm]=exp\left(2x+2y+2z\right) \ \left(dx + dy + dz \right)[/mm]
>
> >
> > (iii) xydz + xzdy+ yzdx
>
>
>
> >
> > (iv) [mm]dx_{1}\wedge dx_{3}[/mm] + [mm]dx_{1}\wedge dx_{4}[/mm] +
> > [mm]dx_{2}\wedge dx_{3}[/mm] + [mm]dx_{2}\wedge dx_{4}[/mm]
>
>
Das was ich hier jetzt ausgerechnet habe, ist das dann schon die Normalform? also mein [mm] \omega?
[/mm]
Lg Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> mmmh, irgendwie peil ich immer noch nicht so ganz wo ich
> die vollständigen Differentiale brauche bzw. einsetzen
> muss.
> Das f taucht bei mir ja nirgends auf ....
> oder ist f zum Beipiel mein exp(2x+2y+2z) in
> Teilaufgabe(ii)???
Die Teilaufgabe lautete:
[mm]exp\left(x+y+z\right) \ dexp\left(x+y+z\right)=F \ dF[/mm]
Hier ist also [mm]F=exp\left(x+y+z\right)[/mm]
>
> > > Also, was die Aufgabe angeht, muss ich ja erst einmal die
> > > Differentialformen umschreiben, damit ich sie in der Form
> > >
> > > [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i1 ...ip}dx_{i1} \wedge[/mm] ... [mm]\wedge dx_{ip}[/mm]
>
> >
> > >
> > > habe, das ist doch dann auch schon die Normalform, oder?
> > >
> > > Und dann kann ich von der Normalform die äußere Ableitung
> > > bestimmen. Ist diese Idee nun richtig?
> >
> > Was Du hier brauchst sind die
> >
> vollständigen Differentiale
> > einer Funktion F.
> >
> > [mm]dF=\bruch{\partial F}{\partial x_{1}} \ dx_{1}+ \ \dots \ + \bruch{\partial F}{\partial x_{n}} \ dx_{n}[/mm]
>
> >
> > Dies dann in die gegebene Differentialform einsetzen.
> >
> > >
> > > Beim Umformen oder Umschreiben, muss ich ja die bestimmten
> > > Rechenregeln, die für das [mm]\wedge[/mm] und das d gelten,
> > > gebrauchen.
> >
> > Ja.
> >
> > >
> > > Ich habe es nun so umgestellt (wäre echt schön, wenn
> > > du/jemand es nochmal überprüfen könnte ):
> > >
> > > (i) [mm]\bruch{1+2x^2+x^4}{(1+x^2)^2}[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dz
> >
> >
> >
> > Das vereinfacht sich zu: [mm]dx \wedge dy \wedge dz[/mm]
> >
> > >
> > > (ii) exp(2x+2y+z)dexp(z)+ exp(2x+2z+y)dexp(y) +
> > > exp(x+2y+2z)dexp(x)
> >
> >
> >
> > > (das sieht allerdings noch komisch aus, aber ich weiß
> > > nicht wie ich das sonst noch umstellen kann)
> >
> > Es gilt ja
> >
> > [mm]dexp\left(x\right)=exp\left(x\right) \ dx[/mm]
> >
> > [mm]dexp\left(y\right)=exp\left(y\right) \ dy[/mm]
> >
> > [mm]dexp\left(z\right)=exp\left(z\right) \ dz[/mm]
> >
> > So daß sich das obige zusammenfassen läßt zu:
> >
> > [mm]=exp\left(2x+2y+2z\right) \ \left(dx + dy + dz \right)[/mm]
> >
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> > >
> > > (iii) xydz + xzdy+ yzdx
> >
> >
> >
> > >
> > > (iv) [mm]dx_{1}\wedge dx_{3}[/mm] + [mm]dx_{1}\wedge dx_{4}[/mm] +
> > > [mm]dx_{2}\wedge dx_{3}[/mm] + [mm]dx_{2}\wedge dx_{4}[/mm]
> >
> >
>
> Das was ich hier jetzt ausgerechnet habe, ist das dann
> schon die Normalform? also mein [mm]\omega?[/mm]
Ja.
>
> Lg Kittycat
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Di 29.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
also ich habe versucht das jetzt auszurechnen, aber irgendwie komme ich auf 0. Kann das sein?
Hab folgendes gerechnet (vielleicht findest du ja meinen Fehler???):
[d [mm] \wedge [/mm] dF] = [mm] [(\bruch{\partial}{\partial x}dx [/mm] + [mm] \bruch{\partial}{\partial y}dy [/mm] + [mm] \bruch{\partial}{\partial z}dz) \wedge [/mm] (Fdx + Fdy + Fdz)]
= [ [mm] \bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge [/mm] Fdx + [mm] \bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge [/mm] Fdy + [mm] \bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge [/mm] Fdz + [mm] \bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge [/mm] Fdx + [mm] \bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge [/mm] Fdy + [mm] \bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge [/mm] Fdz + [mm] \bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge [/mm] Fdx + [mm] \bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge [/mm] Fdy + [mm] \bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge [/mm] Fdz]
(jede partielle Ableitung gleich exp(x+y+z))
= [mm] [\bruch{\partial F}{\partial x}dx \wedge [/mm] dx + [mm] \bruch{\partial F}{\partial x}dx \wedge [/mm] dy + [mm] \bruch{\partial F}{\partial x}dx \wedge [/mm] dz + [mm] \bruch{\partial F}{\partial y}dy \wedge [/mm] dx + [mm] \bruch{\partial F}{\partial y}dy \wedge [/mm] dy + [mm] \bruch{\partial F}{\partial y}dy \wedge [/mm] dz + [mm] \bruch{\partial F}{\partial z}dz \wedge [/mm] dx + [mm] \bruch{\partial F}{\partial z}dz \wedge [/mm] dy + [mm] \bruch{\partial F}{\partial z}dz \wedge [/mm] dz]
Nun, gibt es ja folgende Regeln:
dx [mm] \wedge [/mm] dx = 0
dx [mm] \wedge [/mm] dy = (-1) dy [mm] \wedge [/mm] dx
Diese Regeln angewandt, kürzt sich alles raus und es kommt 0 raus...
Stimmt das nun so? Oder hab ich das total falsch verstanden?
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
> also ich habe versucht das jetzt auszurechnen, aber
> irgendwie komme ich auf 0. Kann das sein?
> Hab folgendes gerechnet (vielleicht findest du ja meinen
> Fehler???):
>
> [d [mm]\wedge[/mm] dF] = [mm][(\bruch{\partial}{\partial x}dx[/mm] +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y}dy[/mm] + [mm]\bruch{\partial}{\partial z}dz) \wedge[/mm]
> (Fdx + Fdy + Fdz)]
>
> = [ [mm]\bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge[/mm] Fdx +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge[/mm] Fdy +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge[/mm] Fdz +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge[/mm] Fdx +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge[/mm] Fdy +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge[/mm] Fdz +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge[/mm] Fdx +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge[/mm] Fdy +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge[/mm] Fdz]
>
> (jede partielle Ableitung gleich exp(x+y+z))
>
> = [mm][\bruch{\partial F}{\partial x}dx \wedge[/mm] dx +
> [mm]\bruch{\partial F}{\partial x}dx \wedge[/mm] dy +
> [mm]\bruch{\partial F}{\partial x}dx \wedge[/mm] dz +
> [mm]\bruch{\partial F}{\partial y}dy \wedge[/mm] dx +
> [mm]\bruch{\partial F}{\partial y}dy \wedge[/mm] dy +
> [mm]\bruch{\partial F}{\partial y}dy \wedge[/mm] dz +
> [mm]\bruch{\partial F}{\partial z}dz \wedge[/mm] dx +
> [mm]\bruch{\partial F}{\partial z}dz \wedge[/mm] dy +
> [mm]\bruch{\partial F}{\partial z}dz \wedge[/mm] dz]
>
> Nun, gibt es ja folgende Regeln:
> dx [mm]\wedge[/mm] dx = 0
> dx [mm]\wedge[/mm] dy = (-1) dy [mm]\wedge[/mm] dx
>
> Diese Regeln angewandt, kürzt sich alles raus und es kommt
> 0 raus...
>
> Stimmt das nun so? Oder hab ich das total falsch
> verstanden?
Auch bei mir kommt immer 0 heraus. Das Ergebnis stimmt.
>
> Liebe Grüße
> Kittycat
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Di 29.04.2008 | | Autor: | kittycat |
cool, wir habens raus, zumindest für eine Teilaufgabe ...
aber wie mache ich das nun für die anderen? Da kann ich ja nun kein F bestimmen, da es mehrere Funktionen bzw. wie bei der (iii) gar keine gibt.
Eigentlich kann ich ja auch die äußere Ableitung mit mehreren Funktionen berechnen (so wie du ein Bsp ganz am Anfang für zwei Funktionen aufgeschrieben hast). Aber was mich total verwirrt, ist das was hinter dem 'd' steht, das kann ich ja irgendwie nicht mit einer Funktion darstellen.
Wie soll das denn nun gehen?
Wenn ich [mm] \omega [/mm] = Pdx + Qdy + Rdz mit stetig, diffbaren Funktionen P, Q und R habe, dann ist ja die äußere Ableitung so definiert:
[mm] d\omega [/mm] = dP [mm] \wedge [/mm] dx + dQ [mm] \wedge [/mm] dy + dR [mm] \wedge [/mm] dz
= ...
...
= [mm] (\bruch{\partial R}{\partial y} [/mm] - [mm] \bruch{\partial Q}{\partial z})dy \wedge [/mm] dz + [mm] (\bruch{\partial P}{\partial z} [/mm] - [mm] \bruch{\partial R}{\partial x})dz \wedge [/mm] dx + [mm] (\bruch{\partial Q}{\partial x} [/mm] - [mm] \bruch{\partial P}{\partial y})dx \wedge [/mm] dy
Hier weiß ich allerdings nicht weiter, was ich aus z.B [mm] d(x^3+\bruch{1}{3}x^3) [/mm] machen soll. Oder muss ich nun bei den anderen irgendwie mit der Normalform weiterrechnen?
Wäre für jeden weiteren Tip sehr sehr dankbar.
Lg kittycat
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Hallo kittycat,
> cool, wir habens raus, zumindest für eine Teilaufgabe ...
>
>
> aber wie mache ich das nun für die anderen? Da kann ich ja
> nun kein F bestimmen, da es mehrere Funktionen bzw. wie bei
> der (iii) gar keine gibt.
>
> Eigentlich kann ich ja auch die äußere Ableitung mit
> mehreren Funktionen berechnen (so wie du ein Bsp ganz am
> Anfang für zwei Funktionen aufgeschrieben hast). Aber was
> mich total verwirrt, ist das was hinter dem 'd' steht, das
> kann ich ja irgendwie nicht mit einer Funktion darstellen.
> Wie soll das denn nun gehen?
>
> Wenn ich [mm]\omega[/mm] = Pdx + Qdy + Rdz mit stetig, diffbaren
> Funktionen P, Q und R habe, dann ist ja die äußere
> Ableitung so definiert:
>
> [mm]d\omega[/mm] = dP [mm]\wedge[/mm] dx + dQ [mm]\wedge[/mm] dy + dR [mm]\wedge[/mm] dz
> = ...
> ...
>
> = [mm](\bruch{\partial R}{\partial y}[/mm] - [mm]\bruch{\partial Q}{\partial z})dy \wedge[/mm]
> dz + [mm](\bruch{\partial P}{\partial z}[/mm] - [mm]\bruch{\partial R}{\partial x})dz \wedge[/mm]
> dx + [mm](\bruch{\partial Q}{\partial x}[/mm] - [mm]\bruch{\partial P}{\partial y})dx \wedge[/mm]
> dy
Das ist die sogenannte Rotation des Feldes [mm]f:=\left(P, \ Q,\ R\right)^{T}[/mm]
[mm]rot\ f:=\nabla \times f=\nabla \times \left(P, \ Q, \ R\right)^{T}=\left(R_{y}-Q_{z}, \ P_{z}-R_{x}, \ Q_{x}-P_{y}\right)^{T}[/mm]
>
> Hier weiß ich allerdings nicht weiter, was ich aus z.B
> [mm]d(x^3+\bruch{1}{3}x^3)[/mm] machen soll. Oder muss ich nun bei
> den anderen irgendwie mit der Normalform weiterrechnen?
Wenn Du hinter dem d eine Funktion F stehen hast, dann ist das gleichbedeutend mit
[mm]dF\left(x,y,z\right) = \bruch{\partial F}{\partial x} \ dx + \bruch{\partial F}{\partial y} \ dy +\bruch{\partial F}{\partial z} \ dz = F_{x} \ dx + F_{y} \ dy + F_{z} \ dz[/mm]
dF ist also das totale oder vollständige Differential.
>
> Wäre für jeden weiteren Tip sehr sehr dankbar.
>
> Lg kittycat
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Di 29.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
> > aber wie mache ich das nun für die anderen? Da kann ich ja
> > nun kein F bestimmen, da es mehrere Funktionen bzw. wie bei
> > der (iii) gar keine gibt.
> >
> > Eigentlich kann ich ja auch die äußere Ableitung mit
> > mehreren Funktionen berechnen (so wie du ein Bsp ganz am
> > Anfang für zwei Funktionen aufgeschrieben hast). Aber was
> > mich total verwirrt, ist das was hinter dem 'd' steht, das
> > kann ich ja irgendwie nicht mit einer Funktion darstellen.
> > Wie soll das denn nun gehen?
> >
> > Wenn ich [mm]\omega[/mm] = Pdx + Qdy + Rdz mit stetig, diffbaren
> > Funktionen P, Q und R habe, dann ist ja die äußere
> > Ableitung so definiert:
> >
> > [mm]d\omega[/mm] = dP [mm]\wedge[/mm] dx + dQ [mm]\wedge[/mm] dy + dR [mm]\wedge[/mm] dz
> > = ...
> > ...
> >
> > = [mm](\bruch{\partial R}{\partial y}[/mm] - [mm]\bruch{\partial Q}{\partial z})dy \wedge[/mm]
> > dz + [mm](\bruch{\partial P}{\partial z}[/mm] - [mm]\bruch{\partial R}{\partial x})dz \wedge[/mm]
> > dx + [mm](\bruch{\partial Q}{\partial x}[/mm] - [mm]\bruch{\partial P}{\partial y})dx \wedge[/mm]
> > dy
>
> Das ist die sogenannte Rotation des Feldes [mm]f:=\left(P, \ Q,\ R\right)^{T}[/mm]
>
>
> [mm]rot\ f:=\nabla \times f=\nabla \times \left(P, \ Q, \ R\right)^{T}=\left(R_{y}-Q_{z}, \ P_{z}-R_{x}, \ Q_{x}-P_{y}\right)^{T}[/mm]
>
Was hat Rotation mit Differentialformen zu tun? wie passt es in diesen Zusammenhang?
> >
> > Hier weiß ich allerdings nicht weiter, was ich aus z.B
> > [mm]d(x^3+\bruch{1}{3}x^3)[/mm] machen soll. Oder muss ich nun bei
> > den anderen irgendwie mit der Normalform weiterrechnen?
>
> Wenn Du hinter dem d eine Funktion F stehen hast, dann ist
> das gleichbedeutend mit
>
> [mm]dF\left(x,y,z\right) = \bruch{\partial F}{\partial x} \ dx + \bruch{\partial F}{\partial y} \ dy +\bruch{\partial F}{\partial z} \ dz = F_{x} \ dx + F_{y} \ dy + F_{z} \ dz[/mm]
>
>
> dF ist also das totale oder vollständige Differential.
*help* Wie soll ich das aber verwurschteln.
Dann habe ich ja bei der (i) stehen:
P dF [mm] \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dQ
mit P= [mm] bruch{1}{(1+x^2)^2}, [/mm] F= x + [mm] \bruch{1}{3} x^3 [/mm] und Q = (z [mm] +x^2 [/mm] z)
Sorry, ich glaub ich hab irgendwie gar keine Ahnung wie ich das bei der (i) machen soll... *desperate
Lg Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> > > aber wie mache ich das nun für die anderen? Da kann ich ja
> > > nun kein F bestimmen, da es mehrere Funktionen bzw. wie bei
> > > der (iii) gar keine gibt.
> > >
> > > Eigentlich kann ich ja auch die äußere Ableitung mit
> > > mehreren Funktionen berechnen (so wie du ein Bsp ganz am
> > > Anfang für zwei Funktionen aufgeschrieben hast). Aber was
> > > mich total verwirrt, ist das was hinter dem 'd' steht, das
> > > kann ich ja irgendwie nicht mit einer Funktion darstellen.
> > > Wie soll das denn nun gehen?
> > >
> > > Wenn ich [mm]\omega[/mm] = Pdx + Qdy + Rdz mit stetig, diffbaren
> > > Funktionen P, Q und R habe, dann ist ja die äußere
> > > Ableitung so definiert:
> > >
> > > [mm]d\omega[/mm] = dP [mm]\wedge[/mm] dx + dQ [mm]\wedge[/mm] dy + dR [mm]\wedge[/mm] dz
> > > = ...
> > > ...
> > >
> > > = [mm](\bruch{\partial R}{\partial y}[/mm] - [mm]\bruch{\partial Q}{\partial z})dy \wedge[/mm]
> > > dz + [mm](\bruch{\partial P}{\partial z}[/mm] - [mm]\bruch{\partial R}{\partial x})dz \wedge[/mm]
> > > dx + [mm](\bruch{\partial Q}{\partial x}[/mm] - [mm]\bruch{\partial P}{\partial y})dx \wedge[/mm]
> > > dy
> >
> > Das ist die sogenannte Rotation des Feldes [mm]f:=\left(P, \ Q,\ R\right)^{T}[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]rot\ f:=\nabla \times f=\nabla \times \left(P, \ Q, \ R\right)^{T}=\left(R_{y}-Q_{z}, \ P_{z}-R_{x}, \ Q_{x}-P_{y}\right)^{T}[/mm]
>
> >
>
> Was hat Rotation mit Differentialformen zu tun? wie passt
> es in diesen Zusammenhang?
>
> > >
> > > Hier weiß ich allerdings nicht weiter, was ich aus z.B
> > > [mm]d(x^3+\bruch{1}{3}x^3)[/mm] machen soll. Oder muss ich nun bei
> > > den anderen irgendwie mit der Normalform weiterrechnen?
> >
> > Wenn Du hinter dem d eine Funktion F stehen hast, dann ist
> > das gleichbedeutend mit
> >
> > [mm]dF\left(x,y,z\right) = \bruch{\partial F}{\partial x} \ dx + \bruch{\partial F}{\partial y} \ dy +\bruch{\partial F}{\partial z} \ dz = F_{x} \ dx + F_{y} \ dy + F_{z} \ dz[/mm]
>
> >
> >
> > dF ist also das totale oder vollständige Differential.
>
> *help* Wie soll ich das aber verwurschteln.
> Dann habe ich ja bei der (i) stehen:
> P dF [mm]\wedge[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dQ
> mit P= [mm]bruch{1}{(1+x^2)^2},[/mm] F= x + [mm]\bruch{1}{3} x^3[/mm] und Q
> = (z [mm]+x^2[/mm] z)
>
> Sorry, ich glaub ich hab irgendwie gar keine Ahnung wie ich
> das bei der (i) machen soll... *desperate
Wie haben doch die Normalformen der gegebenen Differentialformen berechnet.
Für die Berechnung der äußeren Ableitung verwende doch die berechneten Normalform.
>
> Lg Kittycat
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 30.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
also ich habs nun versucht, aber irgendwie ist es, glaub ich falsch, denn ich erhalte mit meiner Methode sowohl bei der (i) als auch bei der (ii) 0 als äußeres Integral. Das kann doch nicht sein, dass bei allen Teilaufgaben so etwas langweiliges wie 0 rauskommt, oder?
Bei meinem Vorgehen habe ich einfach die Formel aus dem 1. oder 2. Post von dir gebraucht:
[d [mm] \wedge \omega] [/mm] = [mm] [(\bruch{\partial}{\partial x_{1}}dx_{1} [/mm] + ... + [mm] \bruch{\partial}{\partial x_{n}}dx_{n}) \wedge \omega]
[/mm]
Bei der (i) erhalte ich hiermit lauter Terme, in denen zweimal dx bzw. dy bzw. dz verbunden mit [mm] \wedge [/mm] sind, und es gilt ja (dx [mm] \wedge [/mm] dx = 0). Von daher wird jeder Term Null.
Und bei der (iii) wird zwar nicht jeder Term gleich 0, aber sie heben sich gegenseitig raus....
Was habe ich nun falsch gemacht? Hab ichs immer noch nicht geblickt, wie ich die äußere Ableitung ausrechnen muss? Mein [mm] \omega [/mm] ist doch die Normalform, oder?
Hilfe .... bitte helf mir noch die Aufgabe zu lösen *please.
Liebe Grüße und vielen Dank
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
>
> also ich habs nun versucht, aber irgendwie ist es, glaub
> ich falsch, denn ich erhalte mit meiner Methode sowohl bei
> der (i) als auch bei der (ii) 0 als äußeres Integral. Das
> kann doch nicht sein, dass bei allen Teilaufgaben so etwas
> langweiliges wie 0 rauskommt, oder?
Doch das ist durchaus so.
Bei i) hast Du die Funktion [mm]f\left(x,y,z\right)=1[/mm]
Somit ist [mm]f_{x}=f_{y}=f_{z}=0[/mm]
Bei ii) hast Du die Funktion [mm]f\left(x,y,z\right)=exp\left(x+y+z\right)[/mm]
Somit gilt [mm]f_{x}=f_{y}=f_{z}[/mm]
Bei iii) gilt:
[mm]\bruch{\partial \left(xy\right)}{\partial x}=\bruch{\partial \left(yz\right)}{\partial z}[/mm]
[mm]\bruch{\partial \left(xy\right)}{\partial y}=\bruch{\partial \left(xz\right)}{\partial z}[/mm]
[mm]\bruch{\partial \left(yz\right)}{\partial y}=\bruch{\partial \left(xz\right)}{\partial z}[/mm]
Bei iv) hast Du wieder die konstante Funktion [mm]f=1[/mm]
>
> Bei meinem Vorgehen habe ich einfach die Formel aus dem 1.
> oder 2. Post von dir gebraucht:
> [d [mm]\wedge \omega][/mm] = [mm][(\bruch{\partial}{\partial x_{1}}dx_{1}[/mm]
> + ... + [mm]\bruch{\partial}{\partial x_{n}}dx_{n}) \wedge \omega][/mm]
>
> Bei der (i) erhalte ich hiermit lauter Terme, in denen
> zweimal dx bzw. dy bzw. dz verbunden mit [mm]\wedge[/mm] sind, und
> es gilt ja (dx [mm]\wedge[/mm] dx = 0). Von daher wird jeder Term
> Null.
>
> Und bei der (iii) wird zwar nicht jeder Term gleich 0, aber
> sie heben sich gegenseitig raus....
>
> Was habe ich nun falsch gemacht? Hab ichs immer noch nicht
> geblickt, wie ich die äußere Ableitung ausrechnen muss?
> Mein [mm]\omega[/mm] ist doch die Normalform, oder?
Du hast alles richtig gemacht.
>
> Hilfe .... bitte helf mir noch die Aufgabe zu lösen
> *please.
>
> Liebe Grüße und vielen Dank
> Kittycat
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mi 30.04.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Mathepower,
noch eine Frage (hoffentlich die letzte zu dieser Aufgabe ):
Kann ich das also so aufschreiben:
(i)
[d [mm] \wedge \omega] [/mm] = [mm] [\bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz + [mm] \bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz + [mm] \bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz]
= 0 , da im ersten Term dx zweimal auftaucht bei der Verknüpfung mit Dach, im 2. & 3. Term das selbe jeweils mit dy und dz.
(iii)
[d [mm] \wedge \omega] [/mm] = [mm] [\bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge [/mm] xydz + [mm] \bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge [/mm] xzdy + [mm] \bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge [/mm] yzdx
+ [mm] \bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge [/mm] yzdx + [mm] \bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge [/mm] yzdx + [mm] \bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge [/mm] yzdx
+ [mm] \bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge [/mm] yzdx + [mm] \bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge [/mm] yzdx + [mm] \bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge [/mm] yzdx]
= [mm] \bruch{\partial xy}{\partial x}dx \wedge [/mm] dz + [mm] \bruch{\partial xz}{\partial x}dx \wedge [/mm] dy + [mm] \bruch{\partial xy}{\partial y}dy \wedge [/mm] dz + [mm] \bruch{\partial yz}{\partial y}dy \wedge [/mm] dx + [mm] \bruch{\partial xz}{\partial z}dz \wedge [/mm] dy + [mm] \bruch{\partial yz}{\partial z}dz \wedge [/mm] dx
= y dx [mm] \wedge [/mm] dz + z dx [mm] \wedge [/mm] dy + x dy [mm] \wedge [/mm] dz + z dy [mm] \wedge [/mm] dx + x dz [mm] \wedge [/mm] dy + y dz [mm] \wedge [/mm] dx
= 0 , da sich alles raushebt
(iv) [auch alles so ausführlich ausgeschrieben, bloß das ich dann folgendes so schreiben muss:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial x_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial x_{3}} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial x_{4}} [/mm] = 0
da ja f = 1
Stimmt das nun so von den Symbolen und der Schreibweise? Kann man das so aufschreiben?
vielen, vielen, vielen Dank, Mathepower,
du hast mir echt weitergeholfen und ich glaube ich kann nun so langsam mit diesen 'd's und [mm] '\partial's [/mm] umgehen, zumindest hoffe ich das.
Danke
Lieben Gruß
Kittycat
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Hallo kittycat,
> Hallo Mathepower,
> noch eine Frage (hoffentlich die letzte zu dieser Aufgabe
> ):
> Kann ich das also so aufschreiben:
>
> (i)
> [d [mm]\wedge \omega][/mm] = [mm][\bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge[/mm]
> dx [mm]\wedge[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dz + [mm]\bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge[/mm]
> dx [mm]\wedge[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dz + [mm]\bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge[/mm]
> dx [mm]\wedge[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dz]
> = 0 , da im ersten Term dx zweimal auftaucht bei der
> Verknüpfung mit Dach, im 2. & 3. Term das selbe jeweils mit
> dy und dz.
>
> (iii)
> [d [mm]\wedge \omega][/mm] = [mm][\bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge[/mm]
> xydz + [mm]\bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge[/mm] xzdy +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}dx \wedge[/mm] yzdx
> + [mm]\bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge[/mm] yzdx +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge[/mm] yzdx +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y}dy \wedge[/mm] yzdx
> + [mm]\bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge[/mm] yzdx +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge[/mm] yzdx +
> [mm]\bruch{\partial}{\partial z}dz \wedge[/mm] yzdx]
>
> = [mm]\bruch{\partial xy}{\partial x}dx \wedge[/mm] dz +
> [mm]\bruch{\partial xz}{\partial x}dx \wedge[/mm] dy +
> [mm]\bruch{\partial xy}{\partial y}dy \wedge[/mm] dz +
> [mm]\bruch{\partial yz}{\partial y}dy \wedge[/mm] dx +
> [mm]\bruch{\partial xz}{\partial z}dz \wedge[/mm] dy +
> [mm]\bruch{\partial yz}{\partial z}dz \wedge[/mm] dx
>
> = y dx [mm]\wedge[/mm] dz + z dx [mm]\wedge[/mm] dy + x dy [mm]\wedge[/mm] dz + z dy
> [mm]\wedge[/mm] dx + x dz [mm]\wedge[/mm] dy + y dz [mm]\wedge[/mm] dx
>
> = 0 , da sich alles raushebt
>
> (iv) [auch alles so ausführlich ausgeschrieben, bloß das
> ich dann folgendes so schreiben muss:
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x_{1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x_{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x_{3}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x_{4}}[/mm] = 0
>
> da ja f = 1
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{1}}=\bruch{\partial f}{\partial x_{2}}=\bruch{\partial f}{\partial x_{3}}=\bruch{\partial f}{\partial x_{4}} =0 [/mm]
>
> Stimmt das nun so von den Symbolen und der Schreibweise?
> Kann man das so aufschreiben?
Ja.
>
> vielen, vielen, vielen Dank, Mathepower,
Immer wieder gerne.
> du hast mir echt weitergeholfen und ich glaube ich kann
> nun so langsam mit diesen 'd's und [mm]'\partial's[/mm] umgehen,
> zumindest hoffe ich das.
> Danke
>
> Lieben Gruß
> Kittycat
>
>
Gruß
MathePower
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