Differentation - Aufgabe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:43 Sa 12.05.2007 | | Autor: | moonylo |
| Aufgabe | Sei a > 0. Zeigen sie, dass f: [mm] \IR^3 [/mm] \ {0} -> [mm] \IR, [/mm] f(x) = [mm] e^{-a|x|_{2}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{|x|_{2}} [/mm] für alle x [mm] \in \IR^{3} [/mm] \ {0} differenzierbar ist.
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Ich bilde nun die partiellen Ableitungen und schaue ob sie stetig sind:
f(x) = [mm] \bruch{1}{ e^{a|x|_{2}} * |x|_{2}}
[/mm]
Nun leite ich nach [mm] x_{i} [/mm] ab, wie folgt:
Zuerst die Quotientenregel mit 1/h = - (h' / h²), also:
f'(x) = - [mm] \bruch{(e^{a|x|_{2}} * |x|_{2})'}{(|x|_{2}*e^{a|x|_{2}})^{2}}
[/mm]
Für den Zähler wende ich nun die Produktregel und dass ausserdem schon bewiesen wurde:
[mm] (|x|_{2})' [/mm] = [mm] -|x|_{2}^{-3}*x_{i}
[/mm]
und für e^... die Kettenregel. Dann folgt:
f'(x) = - [mm] \bruch{-|x|_{2}^{-3}*x_{i} * e^{a|x|_{2}} - e^{a|x|_{2}} * a|x|_{2}^{-3}*x_{i}}{(|x|_{2}*e^{a|x|_{2}})^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{|x|_{2}^{-3}*x_{i} * e^{a|x|_{2}} + e^{a|x|_{2}} * a|x|_{2}^{-3}*x_{i}}{(|x|_{2}*e^{a|x|_{2}})^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{|x|_{2}^{-3}*x_{i}+a|x|_{2}^{-3}*x_{i}}{|x|_{2}^{2}*e^{a|x|_{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{x_{i}*(1+a)}{|x|_{2}^{5}*e^{a|x|_{2}}}
[/mm]
Ist das korrekt soweit?
(Die Stetigkeit bleibt noch zu zeigen!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Sa 12.05.2007 | | Autor: | moonylo |
Hallo,
hab grad nen Fehler gefunden, hab die falsche Ableitung für [mm] |x|_{2} [/mm] genommen. Die korrekte Ableitung lautet natürlich:
[mm] \bruch{\partial}{\partial_{x_{i}}} |x|_{2} [/mm] = [mm] \bruch{x_{i}}{|x|_{2}}
[/mm]
Werde das gleich neu berechnen und hier reinschreiben, wie dann meine Lösung aussieht.
Hier meine neue Lösung:
[mm] \bruch{\partial}{\partial_{x_{i}}} [/mm] f(x) = - [mm] \bruch{\bruch{x_{i}}{|x|_{2}} * e^{a|x|_{2}} + e^{a|x|_{2}} * a*\bruch{x_{i}}{|x|_{2}}*|x|_{2}}{(|x|_{2}*e^{a|x|_{2}})^{2}}
[/mm]
= - [mm] (\bruch{x_{i}}{|x|_{2}} [/mm] + [mm] a*x_{i}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{|x|_{2}} [/mm] * [mm] \bruch{e^{-a|x|_{2}}}{|x|_{2}}
[/mm]
= - [mm] (\bruch{x_{i}}{|x|_{2}} [/mm] + [mm] a*x_{i}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{|x|_{2}} [/mm] * f(x)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 15.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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