Diffeomorphismus SO(3) RP(3) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Do 14.09.2006 | | Autor: | lanzt |
| Aufgabe | Zeige, dass SO(3) diffeomorph zu dem 3-dim. reellen projektiven Raum RP(3) ist. Also : finde einen Diffeomorphismus von SO(3) nach RP(3)
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann jemand einen expliziten Diffeom. finden und vor allem dessen Surjektivität beweisen?
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Hallo und guten Tag,
RP(3) ist der Raum aller Geraden im [mm] \R^3, [/mm] die durch den Ursprung gehen, nicht wahr ?
Und SO(3) ist der Raum aller Drehungen des [mm] \IR^3, [/mm] also aller [mm] 3\times [/mm] 3 Matrizen A über [mm] \IR, [/mm] die die Eigenschaft
[mm] \det (A)=1,\:\: A^{-1}=A^T [/mm] haben.
Intuitiv sollte klar sein, wie der Diffeomorphismus aussehen sollte:
Die Gerade mit auf 1 normiertem Richtungsvektor [mm] r\in\IR^3 [/mm] sollte auf die Matrix [mm] A\in [/mm] SO(3) abgebildet werden, die den ersten Einheitsvektor (1,0,0)
auf r abbildet.
Hilft das weiter ?
Gruss,
Mathias
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