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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Di 12.04.2005 | | Autor: | ThommyM |
Ich habe eine Frage zu dem Beweis folgenden Satzes:
Seien [mm]U, V \subset \IR^{d}[/mm] offen, [mm]f: U \to V[/mm] stetig differenzierbar, [mm]df(x)[/mm] sei invertierbar für alle [mm]x \in U[/mm] und [mm]f: U \to V[/mm] ein Homöomorphismus.
Dann gilt:
[mm]f^{-1}[/mm] ist stetig differenzierbar und f ist ein Diffeomorphismus.
Im Beweis soll zuerst gezeigt werden, dass für alle [mm]x \in U gilt: f^{-1} ist in f(x) differenzierbar[/mm]. Dazu werden zunächst folgende Reduktionen durchgeführt:
(a) Es genügt, dies für [mm]x=0 \in U mit f(x)=0 \in V[/mm] zu zeigen.
Denn: Betrachte [mm]g(z)=f(z+x)-f(x)[/mm]. Dann gilt: g hat die gewünschten Eigenschaften in [mm]z=0 \gdw f hat die gewünschten Eigenschaften in x.[/mm] Ist das Verlangte für g gezeigt, so folgt der allgemeine Fall für f in x.
(b) Betracht die lineare Abb. [mm]K:=(df(0))^{-1} : \IR^{d} \to \IR^{d}[/mm]. Dann gilt mit der Kettenregel:
[mm]d(K°f)(0) = (df(0))^{-1} * df(0)= I_d[/mm].
Also: Ist Satz im Spezialfall x = 0 , f(x) = 0 für [mm]K°f[/mm] gezeigt, so ist
[mm]f^{-1} = (K^{-1} ° (K ° f))^{-1} = (K ° f) ° (K^{-1})^{-1} = (K ° f)^{-1} ° K[/mm].
Somit hätte man die Differenzierbarkeit für [mm]f^{-1}[/mm] gezeigt.
(c) Nach (a) und (b) ist also zu zeigen:
Ist f(0)=0 mit [mm]df(0) = I_d[/mm], so ist [mm]f^{-1}[/mm] in 0 diffbar.
Reduktion (a) verstehe ich ja. Aber wie kommt man denn in (b) auf [mm]d(K°f)(0) = (df(0))^{-1} * df(0)= I_d[/mm]? Kann man [mm](df(0))^{-1}[/mm] einfach ausklammern, weil eigentlich ist das doch eine Matrix, oder nicht? Wie kann man denn dann die Kettenregel anwenden, dazu müsste man doch eine Matrix ableiten?
Den Rest von (b) verstehe ich dann, aber (3) macht mir wieder einige Schwierigkeiten. Warum muss denn [mm]df(0)=I_d[/mm] gelten? Oben war doch [mm]d(K ° f)(0) = I_d[/mm]. Oder wendet man jetzt alles auf [mm]K ° f[/mm] an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Thomas!
> Ich habe eine Frage zu dem Beweis folgenden Satzes:
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> Seien [mm]U, V \subset \IR^{d}[/mm] offen, [mm]f: U \to V[/mm] stetig
> differenzierbar, [mm]df(x)[/mm] sei invertierbar für alle [mm]x \in U[/mm]
> und [mm]f: U \to V[/mm] ein Homöomorphismus.
>
> Dann gilt:
> [mm]f^{-1}[/mm] ist stetig differenzierbar und f ist ein
> Diffeomorphismus.
>
>
> Im Beweis soll zuerst gezeigt werden, dass für alle [mm]x \in U gilt: f^{-1} ist in f(x) differenzierbar[/mm].
> Dazu werden zunächst folgende Reduktionen durchgeführt:
> (a) Es genügt, dies für [mm]x=0 \in U mit f(x)=0 \in V[/mm] zu
> zeigen.
> Denn: Betrachte [mm]g(z)=f(z+x)-f(x)[/mm]. Dann gilt: g hat die
> gewünschten Eigenschaften in [mm]z=0 \gdw f hat die gewünschten Eigenschaften in x.[/mm]
> Ist das Verlangte für g gezeigt, so folgt der allgemeine
> Fall für f in x.
>
> (b) Betracht die lineare Abb. [mm]K:=(df(0))^{-1} : \IR^{d} \to \IR^{d}[/mm].
> Dann gilt mit der Kettenregel:
> [mm]d(K°f)(0) = (df(0))^{-1} * df(0)= I_d[/mm].
> Also: Ist Satz im
> Spezialfall x = 0 , f(x) = 0 für [mm]K°f[/mm] gezeigt, so ist
> [mm]f^{-1} = (K^{-1} ° (K ° f))^{-1} = (K ° f) ° (K^{-1})^{-1} = (K ° f)^{-1} ° K[/mm].
>
> Somit hätte man die Differenzierbarkeit für [mm]f^{-1}[/mm]
> gezeigt.
>
> (c) Nach (a) und (b) ist also zu zeigen:
> Ist f(0)=0 mit [mm]df(0) = I_d[/mm], so ist [mm]f^{-1}[/mm] in 0 diffbar.
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> Reduktion (a) verstehe ich ja. Aber wie kommt man denn in
> (b) auf [mm]d(K°f)(0) = (df(0))^{-1} * df(0)= I_d[/mm]? Kann man
> [mm](df(0))^{-1}[/mm] einfach ausklammern, weil eigentlich ist das
> doch eine Matrix, oder nicht?
Nun, wie lautet die Kettenregel:
$d(K [mm] \circ [/mm] f)(0) = dK(f(0)) [mm] \cdot [/mm] df(0)$.
Wir müssen also $dK$ an der Stelle $f(0)$ berechnen.
Nun ist aber [mm] $K=(df(0))^{-1}$ [/mm] eine lineare Abbildung, nämlich die folgende:
$K : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^d & \to &\IR^d\\[5pt] x & \mapsto & (df(0))^{-1} \cdot x.\end{array}$.
[/mm]
Und das Differential einer linearen Abbildung, die durch eine Matrizenmultiplikation gegeben ist, ist immer konstant gleich der Matrix selbst (die beste lineare Annäherung an eine lineare Funktion ist die lineare Funktion selbst). Daher gilt:
$dK [mm] \equiv (df(0))^{-1}$,
[/mm]
also insbesondere:
$dK(f(0)) = [mm] (df(0))^{-1}$.
[/mm]
Jetzt klar? 
> Wie kann man denn dann die
> Kettenregel anwenden, dazu müsste man doch eine Matrix
> ableiten?
> Den Rest von (b) verstehe ich dann, aber (3) macht mir
> wieder einige Schwierigkeiten. Warum muss denn [mm]df(0)=I_d[/mm]
> gelten? Oben war doch [mm]d(K ° f)(0) = I_d[/mm]. Oder wendet man
> jetzt alles auf [mm]K ° f[/mm] an?
Genau das.
Viele Grüße
Julius
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