Diffeomorphismus < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man zeige: Die Abbildung $f : [mm] \IR^{2} \backslash [/mm] (0,0) [mm] \to \IR^{2}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto (x^{2}-y^{2}, [/mm] 2xy)$ ist in allen Punkten ein lokaler [mm] C^{\infty}-Di ffeomorphismus. [/mm] |
hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
um das zu lösen muss ich doch die Umkehrabbildung explizit bestimmen, um beweisen zu können dass sie unendlich oft stetig differenzierbar ist, der Satz für umkehrbare Funktionen hilft hier ja nicht.
Wie bekomme ich hierzu eine Umkehrabbildung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Merle23 |
Wie kommst du darauf, dass der Satz von der Umkehrabbildung nicht hilft?
Die Funktion ist doch ausserdem gar nicht injektiv, d.h. eine globale Umkehrabbildung wirst du nicht finden können.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mo 06.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Berechne doch mal die Jacobi_Matrix von f in (x,y) [mm] \not=(0,0)
[/mm]
Was sagt der Umkehrsatz dazu ?
FRED
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So, vielen Dank für die schnelle Hilfe, ich habe mich da wirklich nicht besonders helle angestellt.
$J(f, (x,y)) = [mm] \pmat{ 2x & -2y \\ 2y & 2x } \forall [/mm] x,y [mm] \not= [/mm] 0$
diese Matrix ist immer invertierbar und f ist stetig differenzierbar also existiert immer eine lokale Umkehrabbildung.
In der Aufgabe heißt es "...in allen Punkten..." in jedem Punkt (x,y) kann ich aber doch f durch die Lineare Abbildung gegeben durch J(f,(x,y)) darstellen, diese ist ja gerade stetig differenzierbar, die Umkehrabbildung auch (die Matrix hat ja nur reelle Koeffizienten) und zwar unendlich oft.
Was meint Ihr?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 08.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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