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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:45 Mo 22.04.2013 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Sei [mm] X [/mm] eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit eines affines Raumes. Zeigen Sie: Ist das Tangentialbündel [mm] T(X) [/mm] eine [mm] C^{k}[/mm] -Untermannigfaltigkeit, so ist [mm] X [/mm] eine [mm] C^{k+1} [/mm] -Mgfkt. |
Hallo!
In der Vorlesung haben wir bereits gezeigt, dass das Tangentialbündel einer [mm] C^{k}-Mgfkt. [/mm] eine [mm] C^{k-1}-Mgfkt. [/mm] ist. Dabei wird ein Atlas für T(X) mittels der Ableitung von Karten von X konstruiert, weshalb das ganze dann noch (k-1)-mal stetig diff'bar ist. Wie allerdings zeigt man, dass die zu Grunde liegende Mannigfaltigkeit immer eine ums eins höhere Diffbarkeitsklasse hat? Ich weiß nicht, wie man ausgehend von einem Atlas für das Tangentialbündel einen Atlas für X konstruieren könnte, der von höherer Differenzierbarkeitsklasse ist? Wie also kann man an diese Aufgabe herangehen?
Oder kann man einfach sagen: Hätte man einen Punkt x in X, sodass es nur eine [mm] C^{k}-Karte [/mm] um x gibt, so kriegt man so nur [mm] C^{k-1}-Karten [/mm] um (x,v) ( v Tangentialvektor an x). Diese sollten mit dem gegebenen Atlas auf T(X) verzträglich sein, können sie aber nicht sein, wenn sie nur [mm] C^{k-1} [/mm] sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Mi 24.04.2013 | | Autor: | valoo |
Oder ist diese Behauptung etwa falsch? (Dass der Grad der Diffbarkeit von M immer eins höher ist als von T(M)). Ich habe gerade einen Satz gefunden, der besagt, dass jede [mm] C^{k}-Mgfkt. [/mm] auch eine [mm] C^{m}-Mannigfaltigkeit [/mm] ist (für alle m [mm] \be [/mm] k ), wbeo die [mm] C^{m}-Struktur [/mm] mit der [mm] C^{k}-Struktur [/mm] verträglich ist und sie eindeutig bezüglich [mm] C^{m}-Diffeomorphie [/mm] ist. Bzw. ist jede [mm] C^{1}-Mgfkt [/mm] dann doch schon [mm] C^{k}-Mgfkt. [/mm] ist für beliebiges k, was das ganze trivial machen würde?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 26.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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