Diff'gleichung 2 Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung
[mm] x``-3x`+2x=17e^t+10sin(2t) [/mm] |
ich habe in der Vorlesung nicht ganz verstanden wie man die lösung von inhomogenen diff`gleichungen 2 ordnung bestimmt
muss ich wie bei inhomogenen diff`gleichung 1 ordnung zunächst die homogene lösung bestimmen?
wir haben auch eine tabelle bekommen, mit der wir arbeiten sollen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Do 29.05.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung
>
> [mm]x''-3x'+2x=17e^t+10sin(2t)[/mm]
> ich habe in der Vorlesung nicht ganz verstanden wie man
> die lösung von inhomogenen diff'gleichungen 2 ordnung
> bestimmt
>
> muss ich wie bei inhomogenen diff'gleichung 1 ordnung
> zunächst die homogene lösung bestimmen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ja
> wir haben auch eine tabelle bekommen, mit der wir arbeiten
> sollen.
?? Drei Möglichkeiten ??
1. Tabelle enthält Substitutionsmöglichkeiten mit denen man die DGL 2. Ordnung in eine DGL 1. Ordnung überführt
2. Tabelle enthält Lösungsansätze mit denen man die homogene DGL lösen kann
3. Tabelle enthält Lösungsmöglichkeiten für potentielle Störglieder
Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
hallo,
es ist die dritte möglichkeit. die Tabelle enthält Lösungsmöglichkeiten für potentielle Störglieder
allgemeine Lösung der Diff'gleichung 2 Ordnung:
[mm] x(t)=x_h(t)+x_{inh}(t)
[/mm]
[mm] x_h(t)=C_1e^{2t}+C_2e^t
[/mm]
ich weiß noch nicht genau wie ich [mm] x_{inh}(t) [/mm] bestimmen soll. ich habe zwei Störglieder.
[mm] \Rightarrow x_{inh}(t)= x_{inh1}(t)+x_{inh2}(t)
[/mm]
für den Störglied [mm] 17e^t [/mm] habe ich folgenden Ansatz:
[mm] x_{inh1}(t)=C_3*e^{ut}*t^k
[/mm]
wie bestimme ich nun u und k?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Fr 30.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
>
> es ist die dritte möglichkeit. die Tabelle enthält
> Lösungsmöglichkeiten für potentielle Störglieder
>
> allgemeine Lösung der Diff'gleichung 2 Ordnung:
>
> [mm]x(t)=x_h(t)+x_{inh}(t)[/mm]
>
> [mm]x_h(t)=C_1e^{2t}+C_2e^t[/mm]
>
> ich weiß noch nicht genau wie ich [mm]x_{inh}(t)[/mm] bestimmen
> soll. ich habe zwei Störglieder.
>
> [mm]\Rightarrow x_{inh}(t)= x_{inh1}(t)+x_{inh2}(t)[/mm]
>
> für den Störglied [mm]17e^t[/mm] habe ich folgenden Ansatz:
>
> [mm]x_{inh1}(t)=C_3*e^{ut}*t^k[/mm]
>
> wie bestimme ich nun u und k?
Einsetzen in die DGL !!!
FRED
|
|
|
| |
|
so wie ich das verstanden habe muss ich das mit der Tabelle lösen. in der Tabelle steht:
[mm] C*t^k*e^{ut} [/mm] mit k=0, k=1, oder k=2 wobei u k-fache Nullstelle von [mm] \lambda^2 +a\lambda+b=0
[/mm]
wenn ich das richtig verstehe ist k=2, weil die charakteristische Gleichung der homogenen Lösung auch zwei Nullstellen hat. das stimmt doch oder?
wie bestimme ich u (mithilfe der tabelle)?
EDIT: u =1 oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Fr 30.05.2014 | | Autor: | leduart |
hallo
dein u ist 1 wegen der [mm] 17e^t [/mm] d.h. im Ansatz verwendest du genau die efkt die "stört"
deine nullstelle ist einfach, [mm] \lambda=1 [/mm] ist ja keine doppelte nullstelle
bei x''-2x'+x=0 etwa hattest du eine doppelte Nullstelle bei [mm] \lambda [/mm] =1
kurz u=1 k=1
das kann man aber auch nach dem einsetzen sehen.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
die inhomogene Lösung ist:
[mm] x_{ing}=C_3*17e^t*t+C_4*10t*sin(2t)
[/mm]
bevor ich die gleichung zwei mal ableite, möchte ich nochmal nachfragen ob das richtig ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Fr 30.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist einfacher die 2 Störglieder einzeln zu betrachten, der Ansatz für das erste ist richtig, für das zweite nicht bzw du hast nur einen Teil., was steht denn dafür in deiner Tabelle?
Außerdem sollte man Erfahrungen sammeln, warum probierst du deinen ansatz nicht einfach aus und scheiterst, oder er erweist sich als richtig. die 2 Terme zu differenzieren ist ja fast schnelle als ne Frage zu schreiben!
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
in der tabelle steht folgendes:
g(t) = Störglied
[mm] x_p(t) [/mm] = lösung
g(t) = [mm] C_1*cos(vt)+c_2*sin(vt)
[/mm]
[mm] x_p(t)=C_1*t^k*cos(vt)+C_2*t^k*sin(vt) [/mm] mit k=0 oder k=1 wobei iv k-fache Nullstelle von [mm] \lambda^2+a\lambda+b=0
[/mm]
in meinem Fall gibt es kein cos. also habe ich den ausdruck mit cos einfach gleich 0 gesetzt
wie bestimme ich hier k? ich verstehe den folgenden satz nicht:
wobei iv k-fache Nullstelle von [mm] \lambda^2+a\lambda+b=0
[/mm]
was soll "wobei iv k-fache.. " heißen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Fr 30.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst den cos haben, oder [mm] sin(2t+\phi) [/mm] wenn inx der cos nicht vorkommt, dann doch in den Ableitungen! Das hättest du ja auch durch einsetzen gemerkt. Sei ein bissel experimentierfreudiger!
dien Störglied ist doch nicht sin sondern t?sin?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Herby |
Moin,
> in der tabelle steht folgendes:
>
> g(t) = Störglied
>
> [mm]x_p(t)[/mm] = lösung
>
> g(t) = [mm]C_1*cos(vt)+c_2*sin(vt)[/mm]
>
> [mm]x_p(t)=C_1*t^k*cos(vt)+C_2*t^k*sin(vt)[/mm] mit k=0 oder k=1
> wobei iv k-fache Nullstelle von [mm]\lambda^2+a\lambda+b=0[/mm]
>
> in meinem Fall gibt es kein cos. also habe ich den ausdruck
> mit cos einfach gleich 0 gesetzt
es geht auch nicht um deine Störfunktion, sondern um deine Lösungen der homogenen DGL. Eine Lösung war [mm] \lambda=2
[/mm]
Wäre diese Lösung [mm] \lambda=2*\red{i} [/mm] gewesen, dann hättest du k=1 gehabt.
Also ist dein k=0
Der Ansatz für die Störfunktion ist aber [mm] \text{immer}
[/mm]
[mm] y_p=C_a*\sin(vx)+C_b*\cos(vx)
[/mm]
egal, ob deine Störfunktion nur [mm] \sin(vx) [/mm] oder nur [mm] \cos(vx) [/mm] enthält.
> wie bestimme ich hier k? ich verstehe den folgenden satz
> nicht:
>
> wobei iv k-fache Nullstelle von [mm]\lambda^2+a\lambda+b=0[/mm]
>
> was soll "wobei iv k-fache.. " heißen?
jetzt klarer?
Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Fr 30.05.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
> jetzt klarer?
ja danke. jetzt verstehe ich den satz in der tabelle auch
EDIT: sry sollte eig. ein kommentar sein und keien frage
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo,
vielleicht noch eine kleine Ergänzung
Es geht bei dem Ansatz auch nicht darum, dass es ja ggf. mit [mm] $\lambda_{1,2}=\pm [/mm] 2*i$ [mm] \text{zwei} [/mm] Lösungen der Gleichung gibt (denn 2i alleine kann ja eh nicht auftreten), sondern es gibt entweder:
Eine [mm] \green{\text{einzelne}} [/mm] bzw. mehrfache reelle Lösung oder
eine [mm] \green{\text{einzelne}} [/mm] bzw. mehrfache [mm] \green{\text{konjugiert}} [/mm] komplexe Lösung
Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
Moin, servus und hallo,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung
>
> [mm]x''-3x'+2x=17e^t+10sin(2t)[/mm]
> ich habe in der Vorlesung nicht ganz verstanden wie man
> die lösung von inhomogenen diff'gleichungen 2 ordnung
> bestimmt
>
> muss ich wie bei inhomogenen diff'gleichung 1 ordnung
> zunächst die homogene lösung bestimmen?
Ja, das stimmt zwar, aaaber: Du hast hier natürlich eine DGL zweiter Ordnung.
Die Lösung einer inhomogenen DGL setzt sich aus der Lösung der homogenen und einer speziellen Lösung zusammen:
[mm] y_{inh}(t)=y_h(t)+y_{sp}(t)
[/mm]
Löse also zunächst
x''-3x'+2x=0
Das sollte kein Problem sein. Du hast konstante Koeffizienten und so kommt man schnell auf die Lösung.
Die spezielle Lösung kannst du eventuell mit einem geschickten Ansatz finden. Probier es einfach mal aus und überlege dir, welcher Ansatz hier dich zum Ziel führen könnte.
Liebe Grüße
>
> wir haben auch eine tabelle bekommen, mit der wir arbeiten
> sollen.
|
|
|
| |
|
Würde jemand die Freundlichkeit besitzen und sich hier durch kämpfen?
inhomoge Lösung:
[mm] x_{inh}(t)= C_3*17e^t*t+C_4*10*cos(2t)+C_5*10*sin(2t)
[/mm]
[mm] x_{inh}'(t)=C_3*17e^t*t+C_317e^t-C_4*20*sin(2t)+C_5*20*cos(2t)
[/mm]
[mm] x_{inh}''(t)=C_3*17e^t*t+C_317e^t+C_317e^t-C_4*40*cos(2t)-C_5*40*sin(2t)
[/mm]
das alles in die DGL eingesetzt ergibt eine Monstergleichung:
[mm] C_3*17e^t*t+C_317e^t+C_317e^t-C_4*40*cos(2t)-C_5*40*sin(2t)-3(C_3*17e^t*t+C_3*17e^t-C_4*20*sin(2t)+C_5*20*cos(2t))+2(C_3*17e^t*t+C_4*10*cos(2t)+C_5*10*sin(2t))=17e^t+10sin(2t)
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] C_3*17e^t*t+C_317e^t+C_317e^t-C_4*40*cos(2t)-C_5*40*sin(2t)-C_3*51e^t*t-C_3*51e^t+C_4*60*sin(2t)-C_5*60*cos(2t)+C_3*34e^t*t+C_4*20*cos(2t)+C_5*20*sin(2t)=17e^t+10sin(2t)
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] -C_3*17e^t-C_4*20*cos(2t)+C_4*60*sin(2t)-C_5*20*sin(2t)-C_5*60*cos(2t)=17e^t+10sin(2t)
[/mm]
soweit alles richtig? ich muss doch noch [mm] C_3, C_4 [/mm] und [mm] C_5 [/mm] bestimmen oder? wie mache ich das hier?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo,
es tut mir ja nun richtig leid, aber das war nicht so richtig ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
edit: geht, wenn du bei 10*(sin(2t)) auch den Faktor 10 dazu nimmst => 100*sin(2t)
edit2: und bei [mm] e^t [/mm] analog => [mm] 17*17*e^t
[/mm]
mit:
[mm] y_p=At*e^t+B*sin(2t)+C*cos(2t)
[/mm]
musst du arbeiten (ich nehme immer A,B,C,... weil die einfacher sind zum auseinanderhalten - bei den anderen mit Indizes vertut man sich schnell mal).
> Würde jemand die Freundlichkeit besitzen und sich hier
> durch kämpfen?
>
>
> inhomoge Lösung:
>
> [mm]x_{inh}(t)= C_3*17e^t*t+C_4*10*cos(2t)+C_5*10*sin(2t)[/mm]
>
Faktoren 17 und 10 kommen erst beim Koeffizientenvergleich am Ende zum tragen.
z.B. -A=17 etc.
Wenn es noch Unklarheiten gibt, dann meld' dich.
Viele Grüße
Herby
ps: wenn dir zum Schluss die Werte -0,5 und 1,5 über den Weg laufen, dann bist du gut dabei.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Würde jemand die Freundlichkeit besitzen und sich hier
> durch kämpfen?
>
>
> inhomoge Lösung:
>
> [mm]x_{inh}(t)= C_3*17e^t*t+C_4*10*cos(2t)+C_5*10*sin(2t)[/mm]
>
> [mm]x_{inh}'(t)=C_3*17e^t*t+C_317e^t-C_4*20*sin(2t)+C_5*20*cos(2t)[/mm]
>
> [mm]x_{inh}''(t)=C_3*17e^t*t+C_317e^t+C_317e^t-C_4*40*cos(2t)-C_5*40*sin(2t)[/mm]
>
> das alles in die DGL eingesetzt ergibt eine
> Monstergleichung:
>
> [mm]C_3*17e^t*t+C_317e^t+C_317e^t-C_4*40*cos(2t)-C_5*40*sin(2t)-3(C_3*17e^t*t+C_3*17e^t-C_4*20*sin(2t)+C_5*20*cos(2t))+2(C_3*17e^t*t+C_4*10*cos(2t)+C_5*10*sin(2t))=17e^t+10sin(2t)[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]C_3*17e^t*t+C_317e^t+C_317e^t-C_4*40*cos(2t)-C_5*40*sin(2t)-C_3*51e^t*t-C_3*51e^t+C_4*60*sin(2t)-C_5*60*cos(2t)+C_3*34e^t*t+C_4*20*cos(2t)+C_5*20*sin(2t)=17e^t+10sin(2t)[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]-C_3*17e^t-C_4*20*cos(2t)+C_4*60*sin(2t)-C_5*20*sin(2t)-C_5*60*cos(2t)=17e^t+10sin(2t)[/mm]
>
>
> soweit alles richtig? ich muss doch noch [mm]C_3, C_4[/mm] und [mm]C_5[/mm]
> bestimmen oder? wie mache ich das hier?
siehe "edit und edit2" ->> Antwort
[mm] -C_3*17e^t-C_4*20*cos(2t)+C_4*60*sin(2t)-C_5*20*sin(2t)-C_5*60*cos(2t)=17*\red{17}e^t+10*\red{10}*sin(2t)
[/mm]
Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
hallo,
ich habe die aufgabe nun gelöst. ich habe aber noch eine frage:
[mm] -C_3*17e^tC_4*20*cos(2t)+C_4*60*sin(2t)-C_5*20*sin(2t)-C_5*60*cos(2t)=17*\red{17}e^t+10*\red{10}*sin(2t)
[/mm]
wieso wird hier auf der rechten seite die Faktoren 17 und 10 hinzugefügt?
noch eine Frage:
> mit: [mm]y_p=At*e^t+B*sin(2t)+C*cos(2t)[/mm] musst du arbeiten
[mm] A=C_3*17 [/mm] oder? denn [mm] C_3*17 [/mm] ist ja nichts anderes als ein anderer Faktor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Sa 31.05.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> hallo,
>
> ich habe die aufgabe nun gelöst. ich habe aber noch eine
> frage:
>
> [mm]-C_3*1*\red{17}e^t-C_4*2*\red{10}*cos(2t)+C_4*6*\red{10}*sin(2t)-C_5*2*\red{10}*sin(2t)-C_5*6*\red{10}*cos(2t)=17*\red{17}e^t+10*\red{10}*sin(2t)[/mm]
>
> wieso wird hier auf der rechten seite die Faktoren 17 und
> 10 hinzugefügt?
das hatte ich nur gemacht, weil du auf der linken Seite auch den Faktor 10 bzw. 17 verwendet hast.
Noch einmal zurück zum Ausgangspunkt
$ [mm] x''-3x'+2x=17e^t+10sin(2t) [/mm] $
mit dem partikulären Ansatz
[mm] y_p=At*e^t+B*sin(2t)+C*cos(2t)
[/mm]
[mm] y_p'=Ate^t+Ae^t+2B*cos(2t)-2C*sin(2t)
[/mm]
[mm] y_p''=Ate^t+2Ae^t-4C*cos(2t)-4B*sin(2t)
[/mm]
erhältst du zum Schluss folgendes Gleichungssystem
mit $ [mm] -A\cdot{}e^t-2C\cdot{}cos(2t)+6C\cdot{}sin(2t)-2B\cdot{}sin(2t)-6B\cdot{}cos(2t)=17\cdot{}e^t+10\cdot{}sin(2t) [/mm] $
-A=17
-6B-2C=0
-2B+6C=10
-----
Da du bereits in [mm] y_p [/mm] den Faktor 10 bzw. 17 mit drin hattest, hätte er dir beim Lösen des Gleichungssystems auf der rechten Seite gefehlt:
Beispiel:
[mm] -17C_3=17 [/mm] => [mm] C_3=-1 [/mm] <-- und das wäre nicht richtig gewesen, denn [mm] C_3=-17
[/mm]
>
> noch eine Frage:
>
> > mit: [mm]y_p=At*e^t+B*sin(2t)+C*cos(2t)[/mm] musst du arbeiten
>
> [mm]A=C_3*17[/mm] oder? denn [mm]C_3*17[/mm] ist ja nichts anderes als ein
> anderer Faktor
[mm] A\not=C_3*17 [/mm] <-- bei dem partikulären Ansatz arbeitest du generell ohne weitere Faktoren. $A=A\ oder\ [mm] A=C_3$
[/mm]
Viele Grüße
Herby
|
|
|
|
![[huhu]](/images/smileys/huhu.gif "[huhu]"){kind=small}
