Diff.barkeit+offene Mengen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 So 08.03.2009 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | Es seinen U [mm] \subseteq \IC [/mm] offen und f: U [mm] \to \IC [/mm] differenzierbar in [mm] z_{0} \in [/mm] U. Man setze V = [mm] {\overline{z} : z \in U}
[/mm]
a) Beweisen Sie, dass V offen ist.
b) Man definiere g: V [mm] \to \IC [/mm] durch g(z) = [mm] \overline{f(\overline{z})}
[/mm]
Beweisen sie, dass g in [mm] \overline{z_{0}} [/mm] differenzierbar ist und dass gilt [mm] g'(\overline{z}) [/mm] = [mm] \overline{f'(z_{0}} [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] V
c) Man definiere h: V [mm] \to \IC [/mm] durch h(z) = [mm] f(\overline{z}). [/mm] Untersuchen Sie, wann h in [mm] z_{0} [/mm] differenzierbar ist. |
Hallo,
bin hier ziemlich überfragt:(.
a) Wie beweist man, dass V offen ist?
b) Sollte man hier die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen verwenden?
Weiß leider gar nicht, wie ich die Beweise führen könnte.
Vielen Dank für jede Hilfe im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Es seinen U [mm]\subseteq \IC[/mm] offen und f: U [mm]\to \IC[/mm]
> differenzierbar in [mm]z_{0} \in[/mm] U. Man setze V = [mm]{\overline{z} : z \in U}[/mm]
>
> a) Beweisen Sie, dass V offen ist.
> b) Man definiere g: V [mm]\to \IC[/mm] durch g(z) =
> [mm]\overline{f(\overline{z})}[/mm]
> Beweisen sie, dass g in [mm]\overline{z_{0}}[/mm]
> differenzierbar ist und dass gilt [mm]g'(\overline{z})[/mm] =
> [mm]\overline{f'(z_{0}}[/mm] für alle z [mm]\in[/mm] V
> c) Man definiere h: V [mm]\to \IC[/mm] durch h(z) =
> [mm]f(\overline{z}).[/mm] Untersuchen Sie, wann h in [mm]z_{0}[/mm]
> differenzierbar ist.
> Hallo,
>
> bin hier ziemlich überfragt:(.
> a) Wie beweist man, dass V offen ist?
Jedes Element von $V$ lässt sich als [mm] $\overline{z}_0$ [/mm] mit [mm] $z_0\in [/mm] U$ darstellen. Da $U$ offen ist, gibt es ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit [mm] $\{z\in \IC\;:\; |z-z_0|<\varepsilon\}\subseteq [/mm] U$. Daraus folgt aber sogleich, dass auch [mm] $\{z\in \IC\;:\; |z-\overline{z}_0|<\varepsilon\}=\{\overline{z}\in \IC\;:\; |\overline{z}-\overline{z}_0|<\varepsilon\}\subseteq \overline{U}=V$ [/mm] ist, denn
[mm]|\overline{z}-\overline{z}_0|=|\overline{z-z_0}|=|z-z_0| < \varepsilon[/mm]
> b) Sollte man hier die
> Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen verwenden?
Ich würde etwas simpler vorgehen und einfach den Limes
[mm]g'(\overline{z}_0)=\lim_{\overline{z}\rightarrow \overline{z}_0}\frac{g(\overline{z})-g(\overline{z}_0)}{\overline{z}-\overline{z}_0}[/mm]
unter Verwendung der Eigenschaften der Konjugation auf die gewünschte Form zu bringen versuchen.
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