Diff. vektorwertige Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Sa 25.04.2015 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Benutzen Sie die Definition der Differenzierbarkeit um zu beweisen, dass die Funktion [mm] f:\IR^3->\IR^3 [/mm] mit [mm] f(x,y,z)=(xz-y,x^2+z,x+2y)^t [/mm] im Punkt a=(0,0,0) differenzierbar ist.
Zusatzfrage: Lässt sich die Ableitung Df(a) auch ohne partielle Ableitung bestimmen? |
Habe die Differenzierbarkeit einmal mit folgender Eigenschaft gezeigt:
[mm] f:\IR^3->\IR^3 [/mm] diff. in [mm] x_0 \gdw f_i:\IR^3->\IR [/mm] diff. in [mm] x_0 [/mm] mit i=1...3
meine 3 Funktionskomponenten:
[mm] f_1(x,y,z)=xz-y
[/mm]
[mm] f_2(x,y,z)=x^2+z
[/mm]
[mm] f_3(x,y,z)=x+2y
[/mm]
Aus meiner Ursprungsfunktion ergibt sich folgende Jacobi-Matrix:
[mm] Jf(a)=\pmat{ z & -1 & x \\ 2x & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 }
[/mm]
sei [mm] x_0=(0,0,0)
[/mm]
daraus folgt ja [mm] Jf(0,0,0)=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 }
[/mm]
aus dieser Matrix kann ich dann ja schon mal die partiellen Ableitungen meiner [mm] f_i [/mm] ablesen, also sind sie schon mal partiell differenzierbar!
Außerdem sind alle [mm] f_i [/mm] stetig im Punkt (0,0,0), da gilt:
sei [mm] (x_n, y_n, z_n)\to(0,0,0)=x_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{(x_n, y_n, z_n)\rightarrow x_0}f_1(x_n, y_n, z_n)=\limes_{(x_n, y_n, z_n)\rightarrow x_0} x_nz_n-y_n=0*0-0=0
[/mm]
analog für [mm] f_2 [/mm] und [mm] f_3
[/mm]
damit sind alle [mm] f_i [/mm] auch stetig in [mm] x_0, [/mm] also sind alle [mm] f_i [/mm] differenzierbar in [mm] x_0, [/mm] also ist auch f differenzierbar in [mm] x_0
[/mm]
----------------------------------------------------------
anderer Ansatz (bei welche ich noch nicht voll durchblicke):
f ist ja auch im Punkt [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, wenn folgende Gleichung gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)-Jf(x_0)(x-x_0)}{||x-x_0||}=0
[/mm]
sei nun [mm] x_0=(0,0,0), [/mm] in die Gleichung eingesetzt:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(xz-y,x^2+z,x+2y)^t-(0,0,0)^t-\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 }(x,y,z)^t}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}=
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(xz-y,x^2+z,x+2y)^t-(-y,z,x+2y)^t}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}*\vektor{xz \\ x^2 \\ 0}
[/mm]
und jetzt habe ich keine Ahnung, wie ich da weitermachen sollte....??
Und zur Zusatzfrage: wie kann ich denn noch anders Differenzierbarkeit zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 So 26.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Benutzen Sie die Definition der Differenzierbarkeit um zu
> beweisen, dass die Funktion [mm]f:\IR^3->\IR^3[/mm] mit
> [mm]f(x,y,z)=(xz-y,x^2+z,x+2y)^t[/mm] im Punkt a=(0,0,0)
> differenzierbar ist.
> Zusatzfrage: Lässt sich die Ableitung Df(a) auch ohne
> partielle Ableitung bestimmen?
> Habe die Differenzierbarkeit einmal mit folgender
> Eigenschaft gezeigt:
> [mm]f:\IR^3->\IR^3[/mm] diff. in [mm]x_0 \gdw f_i:\IR^3->\IR[/mm] diff. in
> [mm]x_0[/mm] mit i=1...3
>
> meine 3 Funktionskomponenten:
> [mm]f_1(x,y,z)=xz-y[/mm]
> [mm]f_2(x,y,z)=x^2+z[/mm]
> [mm]f_3(x,y,z)=x+2y[/mm]
>
> Aus meiner Ursprungsfunktion ergibt sich folgende
> Jacobi-Matrix:
>
> [mm]Jf(a)=\pmat{ z & -1 & x \\ 2x & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 }[/mm]
>
> sei [mm]x_0=(0,0,0)[/mm]
> daraus folgt ja [mm]Jf(0,0,0)=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 }[/mm]
>
> aus dieser Matrix kann ich dann ja schon mal die partiellen
> Ableitungen meiner [mm]f_i[/mm] ablesen, also sind sie schon mal
> partiell differenzierbar!
>
> Außerdem sind alle [mm]f_i[/mm] stetig im Punkt (0,0,0), da gilt:
>
> sei [mm](x_n, y_n, z_n)\to(0,0,0)=x_0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{(x_n, y_n, z_n)\rightarrow x_0}f_1(x_n, y_n, z_n)=\limes_{(x_n, y_n, z_n)\rightarrow x_0} x_nz_n-y_n=0*0-0=0[/mm]
>
> analog für [mm]f_2[/mm] und [mm]f_3[/mm]
>
> damit sind alle [mm]f_i[/mm] auch stetig in [mm]x_0,[/mm] also sind alle [mm]f_i[/mm]
> differenzierbar in [mm]x_0,[/mm] also ist auch f differenzierbar in
> [mm]x_0[/mm]
Das ist O.K.
>
> ----------------------------------------------------------
>
> anderer Ansatz (bei welche ich noch nicht voll
> durchblicke):
> f ist ja auch im Punkt [mm]x_0[/mm] differenzierbar, wenn folgende
> Gleichung gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)-Jf(x_0)(x-x_0)}{||x-x_0||}=0[/mm]
>
> sei nun [mm]x_0=(0,0,0),[/mm] in die Gleichung eingesetzt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(xz-y,x^2+z,x+2y)^t-(0,0,0)^t-\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 }(x,y,z)^t}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}=[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(xz-y,x^2+z,x+2y)^t-(-y,z,x+2y)^t}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}*\vektor{xz \\ x^2 \\ 0}[/mm]
>
> und jetzt habe ich keine Ahnung, wie ich da weitermachen
> sollte....??
>
> Und zur Zusatzfrage: wie kann ich denn noch anders
> Differenzierbarkeit zeigen?
Zeige
[mm] \bruch{|xz|}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}} \le [/mm] |z|
und
[mm] \bruch{x^2}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}} \le [/mm] |x|
FRED
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