www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Diff-gleichung 1. Ordnung
Diff-gleichung 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Diff-gleichung 1. Ordnung: Probe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Mo 10.06.2019
Autor: sancho1980

Aufgabe
Die Lösung der linearen Differentialgleichung erster Ordnung

x'(t) = c x(t) + g(t) (1)

ist

x(t) = [mm] x(t_0) e^{c(t - t_0)} [/mm] + [mm] \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds} [/mm] (2)

Ich versuche gerade zu obigem Satz die Probe zu machen. Bin nicht ganz sicher, ob mein Ansatz stimmt. Wenn ich (2) ableite, komme ich auf:

x'(t) = c [mm] x(t_0) e^{c(t - t_0)} [/mm] - [mm] e^{c(t - t_0)} g(t_0) [/mm] + g(t) (3)

Wenn ich (1) und (3) jetzt gleichsetze und nach x(t) umstelle, komme ich auf

x(t) = [mm] \bruch{e^{c(t - t_0)} (c x(t_0) - g(t_0))}{c} [/mm] (4)

Wenn ich jetzt zeigen könnte, dass (4) und (2) gleich sind, wäre ich am Ziel, richtig?

Kann mir mal einer auf die Sprünge helfen? Ich krieg's irgendwie nicht gebacken ...

        
Bezug
Diff-gleichung 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Mo 10.06.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> x'(t) = c [mm]x(t_0) e^{c(t - t_0)}[/mm] - [mm]e^{c(t - t_0)} g(t_0)[/mm] +  g(t) (3)

Das stimmt nicht ganz, wie kommst du darauf?
Wenn es dir Probleme macht, dass das t auch im Integral vorkommt,  zieh den Term damit raus und verwende die Produktregel.

Korrekt wäre:
$x'(t) = c [mm] x(t_0) e^{c(t - t_0)} + [/mm] c [mm] \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds} [/mm]  + g(t) $

Nun c ausklammern und dann steht es schon da...

Gruß,
Gono



Bezug
                
Bezug
Diff-gleichung 1. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Mo 10.06.2019
Autor: sancho1980

Hallo nochmal
>  
> > x'(t) = c [mm]x(t_0) e^{c(t - t_0)}[/mm] - [mm]e^{c(t - t_0)} g(t_0)[/mm] +  
> g(t) (3)
>  
> Das stimmt nicht ganz, wie kommst du darauf?

Also mal angenommen ich definiere folgendes unbestimmte Integral:

I(s) = [mm] \integral{e^{c(t - s)} g(s) ds} [/mm]

Dann wäre

I'(s) = [mm] e^{c(t - s)} [/mm] g(s)

Also gilt nach (2)

x(t) = [mm] x(t_0) e^{c(t - t_0)} [/mm] + I(t) - [mm] I(t_0) [/mm]

und somit

x'(t) = [mm] x(t_0) [/mm] c [mm] e^{c(t - t_0)} [/mm] + I'(t) - [mm] I'(t_0) [/mm] = [mm] x(t_0) [/mm] c [mm] e^{c(t - t_0)} [/mm] + [mm] e^{c(t - t)} [/mm] g(t) - [mm] e^{c(t - t_0)} g(t_0) [/mm] = [mm] e^{c(t - t_0)} (x(t_0) [/mm] c - [mm] g(t_0)) [/mm] + g(t)

Was mach ich falsch, und kannst du mir noch näher erläutern wie du auf deins kommst?

Bezug
                        
Bezug
Diff-gleichung 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 Mo 10.06.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Also mal angenommen ich definiere folgendes unbestimmte Integral:
>  
> I(s) = [mm]\integral{e^{c(t - s)} g(s) ds}[/mm]

Das ist mal großer Blödsinn.
Ein unbestimmtes Integral ist eine Menge von Funktionen, nämlich sämtliche Stammfunktionen zum Integranden.
Links willst du also eine Funktion haben, rechts steht aber eine Menge von Funktionen.
Die Zuweisung ist Murks.

> Dann wäre
>  
> I'(s) = [mm]e^{c(t - s)}[/mm] g(s)

Das macht die Sache noch schlimmer…
Was du versuchst anzuwenden ist der []Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Dort geht es aber um bestimmte Integrale!
Schlag den nochmal nach, mache dir die Unterschiede bewusst.

D.h. bei dir müsste sowas gegeben sein: $I(t) = [mm] \int_{t_0}^t [/mm] f(s) ds$ für eine stetige Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$. [/mm]
Dann wäre $I'(t) = f(t)$.
Du hast nun aber dein Problem, dass dein Integrand selbst noch von t abhängt, du hast also sowas wie: $I(t) = [mm] \int_{t_0}^t [/mm] f(t,s) ds$
Und da ist das mit der Ableitung eben nicht mehr so einfach.

Darum mein Tipp: Versuche alle Terme mit t vor das Integral zu ziehen, so dass du einen Ausdruck der Form [mm] $h(t)\int_{t_0}^t [/mm] f(s) ds$ bekommst, dann kannst du bei der Ableitung die Produktregel und den Hauptsatz verwenden…

Edit: alternativ verwende die []Leibnizregel für Parameterintegrale

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Diff-gleichung 1. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:36 Do 13.06.2019
Autor: sancho1980

Hallo,

> Was du versuchst anzuwenden ist der
> []Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
>  
> Dort geht es aber um bestimmte Integrale!
>  Schlag den nochmal nach, mache dir die Unterschiede
> bewusst.

Also ich hab mir den jetzt nochmal zu Gemüte geführt.

Es gilt also:

[mm] (\integral_{a}^{b}{f(x) dx})' [/mm] = f(b)

Der Vollständigkeit halber hier die Lösung:

x'(t)
= [mm] (x(t_0) e^{c(t - t_0)} [/mm] + [mm] \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds})' [/mm]
= [mm] (x(t_0) e^{c(t - t_0)})' [/mm] + [mm] (\integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds})' [/mm]
= [mm] ce^{c(t - t_0)} x(t_0) [/mm]  + [mm] (e^{ct} \integral_{t_0}^{t}{e^{-cs} g(s) ds})' [/mm]
= [mm] ce^{c(t - t_0)} x(t_0) [/mm]  + [mm] ce^{ct} \integral_{t_0}^{t}{e^{-cs} g(s) ds} [/mm] + [mm] e^{ct} e^{-ct} [/mm] g(t)
= [mm] ce^{c(t - t_0)} x(t_0) [/mm]  + [mm] ce^{ct} \integral_{t_0}^{t}{e^{-cs} g(s) ds} [/mm] + g(t)
= [mm] c(x(t_0) e^{c(t - t_0)} [/mm]  + [mm] \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t-s)} g(s) ds}) [/mm] + g(t)
= c x(t) + g(t)

Bezug
                                        
Bezug
Diff-gleichung 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Fr 14.06.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,
> Es gilt also:
>  
> [mm](\integral_{a}^{b}{f(x) dx})'[/mm] = f(b)

Das kommt darauf an, was du mit deinen Strich meinst.
Wenn du damit meinst "nach b Ableiten", dann ist das korrekt. Ansonsten nicht.

  

> Der Vollständigkeit halber hier die Lösung:
>  
> x'(t)
>  = [mm](x(t_0) e^{c(t - t_0)}[/mm] + [mm]\integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds})'[/mm]
>  
> = [mm](x(t_0) e^{c(t - t_0)})'[/mm] + [mm](\integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds})'[/mm]
>  
> = [mm]ce^{c(t - t_0)} x(t_0)[/mm]  + [mm](e^{ct} \integral_{t_0}^{t}{e^{-cs} g(s) ds})'[/mm]
>  
> = [mm]ce^{c(t - t_0)} x(t_0)[/mm]  + [mm]ce^{ct} \integral_{t_0}^{t}{e^{-cs} g(s) ds}[/mm]
> + [mm]e^{ct} e^{-ct}[/mm] g(t)
>  = [mm]ce^{c(t - t_0)} x(t_0)[/mm]  + [mm]ce^{ct} \integral_{t_0}^{t}{e^{-cs} g(s) ds}[/mm]
> + g(t)
>  = [mm]c(x(t_0) e^{c(t - t_0)}[/mm]  +
> [mm]\integral_{t_0}^{t}{e^{c(t-s)} g(s) ds})[/mm] + g(t)
>  = c x(t) + g(t)

[ok]

Mal den anderen Ansatz probiert?

Gruß
Gono

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]