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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Do 15.01.2009 | | Autor: | MarkusT |
| Aufgabe | Betrachten Sie die differential-algebraische Gleichung
y' = y + 5 z
0 = z - y
in der Formulierung als singulär gestörtes System:
y' = y + 5 z
[mm] \epsilon [/mm] z' = z - y
für ein festes 0 < [mm] \epsilon [/mm] << 1
(a) Bestimmen Sie den Differentiationsindex der DAG
(b) Zeigen Sie:
(i) Die DAG ist äquivalent zu einer nicht-steifen skalaren DGL
(ii) Die singulär gestörte Formulierung ist steif |
Hallo,
hier meine Lösung:
(a) 0 = z - y = ableiten => 0 = z' - y'
z' = y'
also Differentiationsindex von 1
(b)
(i) da z = y gilt die DAG ist äquivalent zur DGL y' = 6 y und 6 > 0 also ist die DGL nicht steif.
(ii)
y' = y + 5 z
z' = [mm] \bruch{-y + z}{\epsilon}
[/mm]
[mm] \vektor{y' \\ z'} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 5 \\ -1/\epsilon & 1/\epsilon } \vektor{y \\ z}
[/mm]
davon die Eigenwerte berechnen...
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \bruch{1 + \epsilon + \wurzel{1 - 22 \epsilon + \epsilon^2}}{2 \epsilon}
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \bruch{1 + \epsilon - \wurzel{1 - 22 \epsilon + \epsilon^2}}{2 \epsilon}
[/mm]
der erste wird sehr groß der zweite nähert sich 6 an für kleines [mm] \epsilon
[/mm]
da die Eigenwerte um Größenordnungen verschieden sind, ist die DGL steif.
Diese Aufgabe war verdächtig einfach 
kann jemand mal drüber schauen, ob ich alles richtig gemacht habe? Vielen Dank!
Gruß
Markus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MarkusT,
> Betrachten Sie die differential-algebraische Gleichung
>
> y' = y + 5 z
> 0 = z - y
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> in der Formulierung als singulär gestörtes System:
>
> y' = y + 5 z
> [mm]\epsilon[/mm] z' = z - y
>
> für ein festes 0 < [mm]\epsilon[/mm] << 1
>
> (a) Bestimmen Sie den Differentiationsindex der DAG
>
> (b) Zeigen Sie:
> (i) Die DAG ist äquivalent zu einer nicht-steifen skalaren
> DGL
> (ii) Die singulär gestörte Formulierung ist steif
> Hallo,
>
> hier meine Lösung:
>
> (a) 0 = z - y = ableiten => 0 = z' - y'
> z' = y'
> also Differentiationsindex von 1
> (b)
> (i) da z = y gilt die DAG ist äquivalent zur DGL y' = 6 y
> und 6 > 0 also ist die DGL nicht steif.
> (ii)
> y' = y + 5 z
> z' = [mm]\bruch{-y + z}{\epsilon}[/mm]
>
> [mm]\vektor{y' \\ z'}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 5 \\ -1/\epsilon & 1/\epsilon } \vektor{y \\ z}[/mm]
>
> davon die Eigenwerte berechnen...
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\bruch{1 + \epsilon + \wurzel{1 - 22 \epsilon + \epsilon^2}}{2 \epsilon}[/mm]
>
> [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\bruch{1 + \epsilon - \wurzel{1 - 22 \epsilon + \epsilon^2}}{2 \epsilon}[/mm]
>
> der erste wird sehr groß der zweite nähert sich 6 an für
> kleines [mm]\epsilon[/mm]
>
> da die Eigenwerte um Größenordnungen verschieden sind, ist
> die DGL steif.
>
> Diese Aufgabe war verdächtig einfach
> kann jemand mal drüber schauen, ob ich alles richtig
> gemacht habe? Vielen Dank!
Alles Ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruß
> Markus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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