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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Mo 28.01.2013 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden Differentialgleichungssystems:
[mm] x'=-x-3z+e^{3t}
[/mm]
y'=-4x-y+2z
[mm] z'=-2x-6z-e^{3t} [/mm] |
Hallo!
ich komme hier irgendwie nicht weiter, hoffe ihr könnt mir helfen...
zu allererst suche ich mir die eigenwerte der Matrix
also [mm] det(A-\lambda*E)=det\pmat{ -1-\lambda & 0 & -3 \\ -4 & -1-\lambda & 2 \\ -2 &0 & -6-\lambda }=-\lambda*(\lambda^{2}+8\lambda+7)
[/mm]
dann sind die eigenwerte [mm] \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=-1; \lambda_{3}=-7
[/mm]
rechne ich mir nun den eigenvektor zu [mm] \lambda_{1} [/mm] aus komme ich auf ein Gleichungssystem mit einem Freiheitsgrad. nun zu meinem Problem, wie mache ich das bei den DIfferentialgleichungssystemen wenn ich einen freiheitsgrad habe? definiere ich einfach zB [mm] x_{1}=t [/mm] und bestimme die anderen beiden komponenten des vektors in abhängigkeit von t oder wie löst man das bei den diff-GLS?
vielen dank schon mal,
lg markus
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Hallo mwieland,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden
> Differentialgleichungssystems:
>
> [mm]x'=-x-3z+e^{3t}[/mm]
> y'=-4x-y+2z
> [mm]z'=-2x-6z-e^{3t}[/mm]
> Hallo!
>
> ich komme hier irgendwie nicht weiter, hoffe ihr könnt mir
> helfen...
>
> zu allererst suche ich mir die eigenwerte der Matrix
>
> also [mm]det(A-\lambda*E)=det\pmat{ -1-\lambda & 0 & -3 \\ -4 & -1-\lambda & 2 \\ -2 &0 & -6-\lambda }=-\lambda*(\lambda^{2}+8\lambda+7)[/mm]
>
> dann sind die eigenwerte [mm]\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=-1; \lambda_{3}=-7[/mm]
>
> rechne ich mir nun den eigenvektor zu [mm]\lambda_{1}[/mm] aus komme
> ich auf ein Gleichungssystem mit einem Freiheitsgrad. nun
> zu meinem Problem, wie mache ich das bei den
> DIfferentialgleichungssystemen wenn ich einen freiheitsgrad
> habe? definiere ich einfach zB [mm]x_{1}=t[/mm] und bestimme die
> anderen beiden komponenten des vektors in abhängigkeit von
Genau so machst Du das.
> t oder wie löst man das bei den diff-GLS?
>
> vielen dank schon mal,
>
> lg markus
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 28.01.2013 | | Autor: | mwieland |
> Hallo mwieland,
>
>
> > Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden
> > Differentialgleichungssystems:
> >
> > [mm]x'=-x-3z+e^{3t}[/mm]
> > y'=-4x-y+2z
> > [mm]z'=-2x-6z-e^{3t}[/mm]
> > Hallo!
> >
> > ich komme hier irgendwie nicht weiter, hoffe ihr könnt mir
> > helfen...
> >
> > zu allererst suche ich mir die eigenwerte der Matrix
> >
> > also [mm]det(A-\lambda*E)=det\pmat{ -1-\lambda & 0 & -3 \\ -4 & -1-\lambda & 2 \\ -2 &0 & -6-\lambda }=-\lambda*(\lambda^{2}+8\lambda+7)[/mm]
>
> >
> > dann sind die eigenwerte [mm]\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=-1; \lambda_{3}=-7[/mm]
>
> >
> > rechne ich mir nun den eigenvektor zu [mm]\lambda_{1}[/mm] aus komme
> > ich auf ein Gleichungssystem mit einem Freiheitsgrad. nun
> > zu meinem Problem, wie mache ich das bei den
> > DIfferentialgleichungssystemen wenn ich einen freiheitsgrad
> > habe? definiere ich einfach zB [mm]x_{1}=t[/mm] und bestimme die
> > anderen beiden komponenten des vektors in abhängigkeit von
>
>
> Genau so machst Du das.
>
und das setz ich dann einfach in meine homogene lösung ein?
dann steh da zB [mm] y_{hom}=C_{1}*e^{\lambda_{1}t}*t*\vektor{x \\ y \\ z}+ [/mm] ...
oder?
danke und lg
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Hallo mwieland,
> > Hallo mwieland,
> >
> >
> > > Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden
> > > Differentialgleichungssystems:
> > >
> > > [mm]x'=-x-3z+e^{3t}[/mm]
> > > y'=-4x-y+2z
> > > [mm]z'=-2x-6z-e^{3t}[/mm]
> > > Hallo!
> > >
> > > ich komme hier irgendwie nicht weiter, hoffe ihr könnt mir
> > > helfen...
> > >
> > > zu allererst suche ich mir die eigenwerte der Matrix
> > >
> > > also [mm]det(A-\lambda*E)=det\pmat{ -1-\lambda & 0 & -3 \\ -4 & -1-\lambda & 2 \\ -2 &0 & -6-\lambda }=-\lambda*(\lambda^{2}+8\lambda+7)[/mm]
>
> >
> > >
> > > dann sind die eigenwerte [mm]\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=-1; \lambda_{3}=-7[/mm]
>
> >
> > >
> > > rechne ich mir nun den eigenvektor zu [mm]\lambda_{1}[/mm] aus komme
> > > ich auf ein Gleichungssystem mit einem Freiheitsgrad. nun
> > > zu meinem Problem, wie mache ich das bei den
> > > DIfferentialgleichungssystemen wenn ich einen freiheitsgrad
> > > habe? definiere ich einfach zB [mm]x_{1}=t[/mm] und bestimme die
> > > anderen beiden komponenten des vektors in abhängigkeit von
> >
> >
> > Genau so machst Du das.
> >
>
> und das setz ich dann einfach in meine homogene lösung
> ein?
>
> dann steh da zB [mm]y_{hom}=C_{1}*e^{\lambda_{1}t}*t*\vektor{x \\ y \\ z}+[/mm]
> ...
>
Das steht nur
[mm]y_{hom}=C_{1}*e^{\lambda_{1}t}*\vektor{x \\ y \\ z}+...[/mm]
> oder?
>
> danke und lg
Gruss
MathePower
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