Die orthogonale Gruppe < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Di 24.04.2007 | | Autor: | Farouk |
| Aufgabe | Sei
[mm] M_1 [/mm] := { [mm] \pmat{ a & b \\ -b & a } [/mm] : a,b [mm] \in [/mm] R, [mm] a^2 +b^2 [/mm] =1 } und
[mm] M_2 [/mm] := { [mm] \pmat{ a & b \\ b & -a } [/mm] : a,b [mm] \in [/mm] R, [mm] a^2 +b^2 [/mm] =1 }
Dann gilt
a) O(2,R) = [mm] M_1 \cup M_2
[/mm]
b) [mm] M_1 [/mm] ist eine Untergruppe von O (2,R), [mm] M_2 [/mm] dagegen ist keine Untergruppe von O(2,R)
(O (2,R) ist die Menge aller orthogonalen Matrizen vom Rang n über R ) |
Ich habe mit dem Verständnis dieses Satztes so meine Probleme
Aussage a heisst doch, wenn ich das richtig verstehe, dass alle orthogonalen Matrizen aussehen wie [mm] M_1 [/mm] oder wie [mm] M_2?
[/mm]
aber wieso ist dann [mm] M_2 [/mm] keine Untergruppe der orthogonalen Matrizen (b) das widerspricht sich doch????
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Hallo!
> Aussage a heisst doch, wenn ich das richtig verstehe, dass
> alle orthogonalen Matrizen aussehen wie [mm]M_1[/mm] oder wie [mm]M_2?[/mm]
Genau!
> aber wieso ist dann [mm]M_2[/mm] keine Untergruppe der orthogonalen
> Matrizen (b) das widerspricht sich doch????
Eine Untergruppe ist bezüglich Multiplikation abgeschlossen. Für jedes Element $M$ aus [mm] $M_2$ [/mm] gilt aber: [mm] $M\cdot M=\mathrm{id}\not\in M_2$. [/mm] Deshalb ist [mm] $M_2$ [/mm] keine Untergruppe.
Gruß, banachella
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