Die jungen Briten < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Acht Briten (vier Ehepaare) machen Urlaub auf Mallorca.
a)
Sie haben vier Doppelzimmer gebucht (pro Paar eines).
Wie viele Verteilungsmöglichkeiten gibt es?
b)
Am Pool stehen 12 Liegestühle zur Verfügung. Auf wie viele Arten können sie belegt werden?
c)
Für das Erinnerungsfoto besteht der Fotograf darauf, dass Frauen und Männer abwechselnd in einer Reihe sitzen. Wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es?
d)
Täglich gibt es die Auswahl aus drei Mittagsmenüs, wobei sich der Speiseplan nach einer Woche wiederholt.
Wie viele Speiseauswahlmöglichkeiten hat jeder Brite, wenn 1)
der Urlaub sieben Tage und 2) der Urlaub zehn Tage dauert und er kein Gericht zweimal essen möchte? |
a) Es gibt insgesamt N=4!=24 Verteilungsmöglichkeiten.
b) [mm] N=\binom{12,4}=495
[/mm]
c) Keine Idee :(
d)
1) [mm] 3^{7}
[/mm]
b) [mm] 3^{7} \cdot [/mm] 1
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Hallo,
> Acht Briten (vier Ehepaare) machen Urlaub auf Mallorca.
>
> a)
> Sie haben vier Doppelzimmer gebucht (pro Paar eines).
> Wie viele Verteilungsmöglichkeiten gibt es?
> b)
> Am Pool stehen 12 Liegestühle zur Verfügung. Auf wie
> viele Arten können sie belegt werden?
> c)
> Für das Erinnerungsfoto besteht der Fotograf darauf, dass
> Frauen und Männer abwechselnd in einer Reihe sitzen. Wie
> viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es?
> d)
> Täglich gibt es die Auswahl aus drei Mittagsmenüs, wobei
> sich der Speiseplan nach einer Woche wiederholt.
> Wie viele Speiseauswahlmöglichkeiten hat jeder Brite,
> wenn 1)
> der Urlaub sieben Tage und 2) der Urlaub zehn Tage
> dauert und er kein Gericht zweimal essen möchte?
> a) Es gibt insgesamt N=4!=24 Verteilungsmöglichkeiten.
Ja, das passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) [mm]N=\binom{12,4}=495[/mm]
Das soll ja eigentlich
[mm] \vektor{12\\4}=\vektor{12\\8}=495
[/mm]
heißen und stimmt auch.
>
> c) Keine Idee :(
Wenn du diese Reihe von links nach rechts betrachtest, kann links entweder eine Frau oder ein Mann sitzen. Das sind mal zwei Möglichkeiten, zu beginnen. Ab hier ist jetzt klar, auf welchen Plätzen Männer und auf welchen Frauen sitzen, die kannst du jetzt noch munter durchpermutieren. 
>
> d)
>
> 1) [mm]3^{7}[/mm]
Das ist richtig, aber ja auch einfach.
>
> b) [mm]3^{7} \cdot[/mm] 1
>
Jetzt musst du überlegen, wie viele Wahlmöglichkeiten sie/er an den verbleibenden Tagen noch hat.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:12 Do 29.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> > 1) $ [mm] 3^{7} [/mm] $
> Das ist richtig, aber ja auch einfach.
> >
> > b) $ [mm] 3^{7} \cdot [/mm] $ 1
>
> Jetzt musst du überlegen, wie viele Wahlmöglichkeiten sie/er an den
> verbleibenden Tagen noch hat.
a) ist nur dann richtig, wenn sich der Zusatz in der Aufgabenstellung allein auf b) bezieht.
Dann macht aber deine Antwort zu b) nicht viel Sinn.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Do 29.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Sax,
> a) ist nur dann richtig, wenn sich der Zusatz in der
> Aufgabenstellung allein auf b) bezieht.
> Dann macht aber deine Antwort zu b) nicht viel Sinn.
Hm, sorry: aber ich verstehe deinen Einwand nicht. Könntest du noch näher erläutern, was du meinst?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 Do 29.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
mein Einwand lässt Schlüsse darüber zu, wie lange meine Feier gestern gedauert hat, zum Thema trägt er leider gar nichts bei.
Ich hatte die Frage falsch gelesen (nämlich als "sich der Speiseplan nach einer Woche ändert").
Tatsächlich fehlt in der Aufgabenstellung aber wohl der Hinweis, dass innerhalb einer Woche 21 verschiedene Menüs angeboten werden.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:33 Do 29.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Hi,
>
> mein Einwand lässt Schlüsse darüber zu, wie lange meine
> Feier gestern gedauert hat, zum Thema trägt er leider gar
> nichts bei.
Auch ich spüre noch Nachwehen eines durch in der Flasche befindliche natürliche Schwebstoffe oder Hefe trüb und wesentlich vollmundiger schmeckenden Nationalgetränks aus dem befreundeten Nachbarland.
>
> Ich hatte die Frage falsch gelesen (nämlich als "sich der
> Speiseplan nach einer Woche ändert").
>
> Tatsächlich fehlt in der Aufgabenstellung aber wohl der
> Hinweis, dass innerhalb einer Woche 21 verschiedene Menüs
> angeboten werden.
Ja, die Stochastik- und Kombinatorikaufgaben. Ich hatte gestern zwei Schülerinnen 9. Klasse da, da haben wir Hausaufgaben zur Vierfeldertafel aus irgendsoeiner Aufgabensammlung gemacht. Da war kaum eine Aufgabe unmissverständlich formuliert, so dass ich das mit den 21 unterschiedlichen Menüs schon gar nicht mehr wahrgenommen habe. Aber ja, du hast Recht: zu einer anständig formulierten Aufgabe gehört dieser Zusatz dazu!
Gruß, Diophant
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Hey. :)
Leider komme ich nicht darauf:
Mein System sieht wie folgt aus:
Auf den ersten Platz kommt entweder eine Frau oder ein Mann, das sind 2 Möglichkeiten.
Angenommen auf den ersten Platz wurde eine Frau gesetzt, dann hat für den zweiten Platz nur noch eine Möglichkeit.
Daraus ergibt sich:
$N=2 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 1$
Man hat immer wieder nur eine Möglichkeit, weil wenn die erste Person festgelegt ist, ist parralel dazu die ganze Reihe fest.
Daraus kann man folgenden Ansatz herleiten:
$ [mm] \vektor{10\\2}$
[/mm]
Und zur letzten Aufgabe:
Ist es dann ausgeschlossen, dass eines der Menüs verdrückt ?
Dann hat er nur noch 2 Möglichkeiten und dass auf drei Tage gezählt: $2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 2$
oder?
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Hallo,
> Hey. :)
>
>
> Leider komme ich nicht darauf:
> Mein System sieht wie folgt aus:
>
>
> Auf den ersten Platz kommt entweder eine Frau oder ein
> Mann, das sind 2 Möglichkeiten.
> Angenommen auf den ersten Platz wurde eine Frau gesetzt,
> dann hat für den zweiten Platz nur noch eine
> Möglichkeit.
> Daraus ergibt sich:
>
> [mm]N=2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1[/mm]
>
Nein, hier bist du völlig auf dem Holzweg. Jetzt kannst du doch die vier Frauen und die vier Männer auf ihren Plätzen jeweils jede mögliche Permutation einnehmen lassen. Wie viele dies jeweils sind, weißt du aus a) !
> Man hat immer wieder nur eine Möglichkeit, weil wenn die
> erste Person festgelegt ist, ist parralel dazu die ganze
> Reihe fest.
>
>
> Daraus kann man folgenden Ansatz herleiten:
>
> [mm]\vektor{10\\2}[/mm]
>
Hier verstehe ich ehrlich gesagt nur Bahnhof. Was für ein Ansatz soll das sein und für welchen Aufgabenteil?
> Und zur letzten Aufgabe:
>
> Ist es dann ausgeschlossen, dass eines der Menüs
> verdrückt ?
>
> Dann hat er nur noch 2 Möglichkeiten und dass auf drei
> Tage gezählt: [mm]2 \cdot 2 \cdot 2[/mm]
>
> oder?
>
Ja, und das ergibt insgesamt
[mm] n=3^7*2^3
[/mm]
Möglichkeiten.
Gruß, Diophant
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Leider verstehe ich das nicht. :(
Habe ich überhaupt die Aufgabe richtig verstanden ?
Der Photograf möchte, dass sich die Frauen und die Männer abwechselnd in eine Reihe stellen.
Kann man dann das ganze in Paaren übersetzen, weil sie bilden "ja" Paare ?
Lieber schreibe ich meine Rechnung nicht auf, denn die ist murks. :(
Könntest du mir einen weiteren Tipp geben ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Do 29.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Leider verstehe ich das nicht. :(
Hast du etwa gestern auch gefeiert? 
> Habe ich überhaupt die Aufgabe richtig verstanden ?
Weiß ich nicht, und meine Kristallkugel hat es mir auch nicht verraten...
> Der Photograf möchte, dass sich die Frauen und die Männer
> abwechselnd in eine Reihe stellen.
> Kann man dann das ganze in Paaren übersetzen, weil sie
> bilden "ja" Paare ?
Nein.
> Lieber schreibe ich meine Rechnung nicht auf, denn die ist
> murks. :(
Wäre trotzdem gut, du würdest es posten. Es hilft dabei, ggf. vorhandene Denkfehler bzw. Verständnsiprobleme nachzuvollziehen.
> Könntest du mir einen weiteren Tipp geben ?
Also, nimm mal folgendes an:
- Die Plätze seien von links her von 1 bis 8 durchnummeriert
- Links sitze ein Mann. Dann sitzen alle Männer auf Plätzen mit ungerader Nummer
- Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt, die vier Männer auf diese vier Plätze zu verteilen?
Offensichtlich gehst du davon aus, dass die Paare nebeneinander sitzen sollen. Ich glaube aber, dass die Aufgabe in diesem Punkt nicht ganz so streng ist wie bei den Schlafzimmern...
Mein Ansatz jedenfalls zählt einfach nur die Anzahl von Möglichkeiten, so dass Frauen und Männer beliebig nebeneinander sitzen. Wenn die Paare nebeneinander sitzen sollen, wäre das eigentlich wieder fast das gleiche wie in Teil a) und von daher im Verlauf einer solchen Aufgabe nicht sonderlich sinnvoll.
Gruß, Diophant
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Ja. Ich habe gestern gefeiert. :)
Für die Frauen gilt: $4!$
Für die Männer gilt ebenfalls: $4!$
Beides miteinander kombinieren. :)
$4! [mm] \cdot [/mm] 4!=576$
Allerdings gehen wir doch davon aus, dass links ein Mann sitzt. Jetzt kann es aber sein, dass eine Frau vorne sitzt, kommt aber aufs gleiche hinaus. :)
$2 [mm] \cdot [/mm] 576=1152$
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Hallo,
> Ja. Ich habe gestern gefeiert. :)
>
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> Für die Frauen gilt: [mm]4![/mm]
> Für die Männer gilt ebenfalls: [mm]4![/mm]
>
> Beides miteinander kombinieren. :)
>
> [mm]4! \cdot 4!=576[/mm]
>
> Allerdings gehen wir doch davon aus, dass links ein Mann
> sitzt. Jetzt kann es aber sein, dass eine Frau vorne sitzt,
> kommt aber aufs gleiche hinaus. :)
>
> [mm]2 \cdot 576=1152[/mm]
>
Jetzt ist es richtig.
Gruß, Diophant
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Super. :)
Vielen Dank.
Ich habe noch eine kurze Frage.
Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich bei solchen Aufgaben vorgehen soll.
Ich rede also allgemein bei kombinatorischen Aufgaben. :)
Das wäre sehr nett von dir.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Do 29.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Super. :)
>
> Vielen Dank.
>
>
> Ich habe noch eine kurze Frage.
>
> Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich bei
> solchen Aufgaben vorgehen soll.
> Ich rede also allgemein bei kombinatorischen Aufgaben. :)
Verabschiede dich schnellstmöglich von der Vorstellung, dass man in der Kombinatorik mit irgndwelchen 08/15-Strickmustern weiterkommt.
Man muss
- die Aufgabenstellungen so gründlich wie irgend möglich durchlesen, damit man sie komplett verstanden hat
- die grundlegenden kombinatorischen Modelle und ihre Bedeutung kennen
- viel Phantasie und Kreativität in das Auffinden von Ansätzen stecken
Betrachte dir mal die folgende Aufgabe:
Wie oft muss man im Schnitt mit einem idealen Würfel würfeln, bis jede Augenzahl mindestens einmal gefallen ist?
Nicht schwer zu verstehen, oder? Sie mit kombinatorischen Mitteln zu lösen, das hat es aber ziemlich in sich!
Gruß, Diophant
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Alles klar.
Ich werde mir jetzt jede Aufgabe richtig und gründlich durchlesen und einen perfekten Ansatz herleiten, bei dem ich hier zu 100 % sicher bin. :)
Mir ist allerdings schon aufgefallen, dass es keine Muster gibt. :)
Die Aufgabe ist wirklich schwer zu lösen. :)
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