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ich hab hier ne aufgabe zu der ich zwar ne lösung hab, allerdings scheint die mir für diese aufgabenstellung in der völlig falschen reihenfolge zu sein und deshalb frag ich mich ob sie richtig ist.
Aufgabe: Der Kreis T = {z [mm] \in \IC [/mm] | |z|=1} wird zu einer Gruppe (T, *) durch die Multiplikation komplexer Zahlen.
a)
Zeigen sie, dass jeder differenzierbare Gruppenhomomorphismus
[mm] \varphi :(\IR,+) \to [/mm] (T.*)
der Differentialgleichung
[mm] \dot \varphi(t)=\dot \varphi(0) \varphi(t)
[/mm]
für alle t in [mm] \IR [/mm] genügt.
b)
Vergewissern sie sich, dass [mm] \dot \varphi(0) [/mm] rein imaginär ist.
c) Folgern sie dann, dass [mm] \varphi(t)=\exp(\dot \varphi(0)t) [/mm] für alle t in [mm] \IR [/mm] gilt.
Mein Problem ist, dass ich das gefühl hab das ganze genau rückwärts gemacht zu haben. meine Lösung
c)
[mm] \dot \varphi(t)=\dot \varphi(0) \varphi(t)
[/mm]
[mm] \gdw \dot \varphi(0)=\bruch{\dot \varphi(t)}{\varphi(t)}=\bruch{d}{dt} \ln(\varphi(t)) [/mm] | beide Seiten integrieren
[mm] \gdw \dot \varphi(0)t=\ln(\varphi(t)) [/mm]
[mm] \gdw \varphi(t)=\exp(\dot \varphi(0)t) [/mm]
b)
Annahme [mm] \dot \varphi(0)=a+ib
[/mm]
zu zeigen a=0
einsetzen in
[mm] \varphi(t)=\exp(\dot \varphi(0)t) [/mm]
liefert:
[mm] \varphi(t)=\exp(at+ibt)=\cos [/mm] at +i [mm] \sin [/mm] bt
ableiten:
[mm] \dot \varphi(t)=-a \sin [/mm] at +ib [mm] \cos [/mm] bt
t=0 setzen
[mm] \dot \varphi(0)=-ib [/mm]
also [mm] \dot \varphi(0) [/mm] rein imaginär.
a)
hier hab ich jetzt einfach nur noch überprüft ob [mm] \varphi(t) [/mm] die Bedingungen für einen Gruppenhomomorphismus erfüllt
kann ich das ganze so machen, oder was müsste ich anders machen um der reihenfolge in der aufgabe gerecht zu werden?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Naja, du musst die Aufgaben schon in der Reihenfolge bearbeiten, wie sie gegeben worden (jedenfalls erst a)!, bei b) und c) sehe ich nicht, dass die Reihenfolge wichtig ist), weil du ja ansonsten bei a) nicht zeigst, dass jeder Gruppenhomomorphismus $\varphi: (\IR,+) \to (T,\*)$ der Differentialgleichung genügt.
Hier der Weg:
zu a)
Aus
$\frac{\varphi(t+h)-\varphi(t)}{h} = \frac{\varphi(t) \cdot \varphi(h) - \varphi(t)}{h} = \varphi(t) \cdot \frac{\varphi(h)-1}{h}$
folgt nach Grenzübergang für $h \to 0$ die Behauptung, da nach Voraussetzung alle Differentialquotienten existieren.
zu b)/c) Aus a) folgt durch Integration:
$e^{\dot{\varphi}(0) \cdot t} = e^{\int\limits_0^t \frac{\dot{\varphi}(s)}{\varphi(s)}\, ds}} = e^{\int\limits_{[0,\varphi(t)]} \frac{1}{z}\, dz} = e^{ i \, \mbox{\scriptsize arg}(\varphi(t))} = \varphi(t)$,
und daraus die Behauptung. Wäre $\dot{\varphi}(0) \notin i\IR$, dann wäre $|e^{\dot{\varphi}(0) \cdot t}| = e^{Re(\dot{\varphi}(0)) \cdot t} \ne 1$ für alle $t \ne 0$, Widerspruch.
Ich warne hier vor einer leichtfertigen Benutzung des (komplexen!) Logarithmus!!
Viele Grüße
Stefan
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