Die Anordnung auf R < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Sei x aus R mit [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1/n für alle n aus N. Zeigen Sie, dass x=0 ist.
b) seien nun M und N nichtleere Teilmengen von R mit x [mm] \le [/mm] y für alle x aus M, y aus N.
(I) zeigen Sie, dAs gilt sup M [mm] \le [/mm] inf N (Hinweis: Nehmen Sie an, dass sup M > inf N und setzen Sie [mm] \varepsilon [/mm] :=1/2( sup M - inf N)).
(Ii) zeigen Sie, dass Gleichheit genau dann besteht, wenn gilt: für jedes [mm] \delta> [/mm] 0 existieren Elemente x aus M und y aus N mit y-x < [mm] \delta. [/mm] |
Hallo,
ich habe leider überhaupt keinen Ansatz für diese Aufgabe. Könnt ihr mir helfen?
Gruß
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> a) Sei x aus R mit [mm]0\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1/n für alle n aus N. Zeigen
> Sie, dass x=0 ist.
Hallo,
nimm an, daß [mm] x\not=0.
[/mm]
Überlege Dir, daß nach Voraussetzung x < 1 richtig ist.
Verwende nun das archimedische Axiom.
> b) seien nun M und N nichtleere Teilmengen von R mit x
> [mm]\le[/mm] y für alle x aus M, y aus N.
Die Situation hast Du verstanden? Fertige mal eine Skizze an mit zwei Mengen, die diese Voraussetzung erfüllen.
> (I) zeigen Sie, dAs gilt sup M [mm]\le[/mm] inf N
Weißt Du, wie sup und inf definiert sind? (Wie denn?)
> (Hinweis:
> Nehmen Sie an, dass sup M > inf N und setzen Sie
> [mm]\varepsilon[/mm] :=1/2( sup M - inf N)).
Überlege Dir, daß es ein Element m von M gibt mit [mm] supM-\varepsilon [/mm] < m [mm] \le [/mm] sup M,
analog fürs infimum.
Entdecke einen Widerspruch.
Wenn Du so weit bist, können wir weitersehen.
LG Angela
> (Ii) zeigen Sie, dass Gleichheit genau dann besteht,
> wenn gilt: für jedes [mm]\delta>[/mm] 0 existieren Elemente x aus M
> und y aus N mit y-x < [mm]\delta.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe leider überhaupt keinen Ansatz für diese
> Aufgabe. Könnt ihr mir helfen?
>
> Gruß
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