Dichtefunktion Übungsaufgabe < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Do 25.12.2008 | | Autor: | natschke |
| Aufgabe | Die Wartezeit X (in Std.) in einer Arztpraxis kann als stetige Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F(x)= [mm] 3x^{2} [/mm] - [mm] 2x^{3} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 aufgefasst werden.
a) Bestimmen und zeichnen Sie die Dichtefunktion. |
Mein Problem ist hier:
Die Dichtefunktion lautet: [mm] 6x-6x^{2} [/mm]
Wenn ich jetzt Werte daraus berechne, ergeben sich auch Werte über 1.
Ich gehe davon aus,dass die Dichtefunktion unterhalb der 1 bleiben sollte (wegen der Wahrscheinlichkeiten).
Weiss ich etwas nicht, oder habe ich einen anderen Fehler gemacht?
Schonmal tausend Dank!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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> Die Wartezeit X (in Std.) in einer Arztpraxis kann als
> stetige Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F(x)=
> [mm]3x^{2}[/mm] - [mm]2x^{3}[/mm] für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 aufgefasst werden.
> a) Bestimmen und zeichnen Sie die Dichtefunktion.
> Mein Problem ist hier:
>
> Die Dichtefunktion lautet: [mm]6x-6x^{2}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt Werte daraus berechne, ergeben sich auch
> Werte über 1.
> Ich gehe davon aus,dass die Dichtefunktion unterhalb der 1
> bleiben sollte (wegen der Wahrscheinlichkeiten).
>
> Weiss ich etwas nicht, oder habe ich einen anderen Fehler
> gemacht?
Hallo Natalie,
du hast keinen Fehler gemacht. Eine Dichtefunktion
kann durchaus auch Werte grösser als 1 annehmen,
sie kann sogar an einzelnen Stellen gegen [mm] \infty [/mm] streben.
Aus ihr werden ja erst Wahrscheinlichkeiten, wenn
man sie integriert:
$\ [mm] P(a\le [/mm] X <b)\ =\ [mm] \integral_{a}^{b}f(x)\ [/mm] dx$
Diese Werte sind es, die nicht über 1 hinaus gehen
dürfen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Do 25.12.2008 | | Autor: | natschke |
Okay danke, aber da muss ich nochmal kurz rückfragen:
Wenn ich integriere erhalte ich doch die kumulierten Wahrscheinlichkeiten, oder?
Bei f(x) im Falle einer diskreten Zufallsvariablen kann ich doch die einzelnen Wahrscheinlichkeiten ablesen. Welche Funktion hat die Dichtefunktion dann wenn ich da keine Wahrscheinlichkeit ablesen kann ?
Danke!
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> Okay danke, aber da muss ich nochmal kurz rückfragen:
>
> Wenn ich integriere erhalte ich doch die kumulierten
> Wahrscheinlichkeiten, oder?
Ja. Am besten wird dies eben genau durch die Integral-
schreibweise ausgedrückt:
$\ [mm] P(a\le [/mm] X [mm]
"Integration=Summation=Kumulation"
> Bei f(x) im Falle einer diskreten Zufallsvariablen kann
> ich doch die einzelnen Wahrscheinlichkeiten ablesen. Welche
> Funktion hat die Dichtefunktion dann wenn ich da keine
> Wahrscheinlichkeit ablesen kann ?
Bei diskreten Zufallsvariablen benützt man in der Regel
überhaupt keine Dichtefunktion. Wollte man dies,
müsste man dafür sogenannte "Distributionen" oder
"Dirac-Funktionen" nehmen.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Fr 26.12.2008 | | Autor: | natschke |
Sorry aber das habe ich jetzt noch nicht ganz verstanden.
Es handelt sich doch hier um eine stetige Zufallsvariable: was mache ich mit der Dichtefunktion, was fange ich damit an?
Ich meinte auch nur den Fall für stetige ZV, dass es die bei diskreten eigentlich nicht gibt, davon bin ich ausgegangen. Aber da habe ich ja f(x) in Form der Wahrscheinlichkeitsfunktion, aus der ich einzelne Wahrscheinlichkeiten ablesen kann. Aus der Dichtefunktion kann ich das ja nicht.
Deshalb die Frage, was ich mit der Dichtefunktion anfangen kann.
Danke schonmal.
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> Sorry aber das habe ich jetzt noch nicht ganz verstanden.
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> Es handelt sich doch hier um eine stetige Zufallsvariable:
> was mache ich mit der Dichtefunktion, was fange ich damit
> an?
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> Ich meinte auch nur den Fall für stetige ZV, dass es die
> bei diskreten eigentlich nicht gibt, davon bin ich
> ausgegangen. Aber da habe ich ja f(x) in Form der
> Wahrscheinlichkeitsfunktion, aus der ich einzelne
> Wahrscheinlichkeiten ablesen kann. Aus der Dichtefunktion
> kann ich das ja nicht.
> Deshalb die Frage, was ich mit der Dichtefunktion anfangen
> kann.
Beispielsweise könntest du berechnen, mit welcher
Wahrscheinlichkeit eine Patientin damit rechnen kann,
schon in spätestens 10 Minuten dranzukommen.
Lösung:
[mm] $\integral_{0}^{1/6}f(x)dx=\integral_{0}^{1/6}(6x-6x^2)dx=(3x^2-2x^3)\big{|}_{0}^{1/6}=\bruch{2}{27}$
[/mm]
oder die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine halbe,
aber höchstens dreiviertel Stunde warten zu müssen:
[mm] $\integral_{1/2}^{3/4}f(x)dx= [/mm] ....... $
LG
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