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Forum "Uni-Stochastik" - Dichtefunktion berechnen
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Dichtefunktion berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Di 17.04.2012
Autor: ecko

Hallo, ich hab einige Frage zur Dichtefunktion.

In der letzten Klausur kamen Fragen vor, die in der Vorlesung irgendwie nicht konkret behandelt wurden:

(1)
X [mm] \sim [/mm] N(0,1)
Bestimmen Sie die Verteilungsdichte von [mm] e^{X} [/mm] und [mm] e^{-X} [/mm]

(2)
X,Y sind unabhängige Verteilungen mit Dichten p,q
U = min(X,Y)
V = max(X,Y)
Bestimmern Sie die Verteilungsdichten von U,V

Kann mir jemand helfen?

        
Bezug
Dichtefunktion berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Di 17.04.2012
Autor: luis52

Moin

>  
> Kann mir jemand helfen?
>  

Was hast du denn selber schon herausgefunden?

vg Luis

Bezug
                
Bezug
Dichtefunktion berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Di 17.04.2012
Autor: ecko

Also ich hab ein Beispiel Gefunden bei der [mm] Y=X^{2} [/mm] behandelt wurde, wenn ich dies jetzt mal auf [mm] Y=e^{X} [/mm] anwende für N(0,1) komm ich auf das folgende:

P(Y [mm] \le [/mm] t) = [mm] P(e^{X} \le [/mm] t) = P(X [mm] \le [/mm] ln(t)) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{ln(t)}{e^{\bruch{x^2}{2}} dx} [/mm]

Um auf die Dichtefunktion zu kommen müsste ich also das Integral lösen und alles wieder nach x ableiten.

Stimmt das so?

Bei [mm] e^{-X} [/mm] würde die Integrationsgrenzen von ln(t) bis [mm] +\infty [/mm] gehen?

Bei dem min,max Problem weiß ich allerdings noch nicht weiter.
Bezug
                        
Bezug
Dichtefunktion berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:59 Di 17.04.2012
Autor: ecko

Also ich müsste natürlich nach t ableiten, nicht nach x.
Also Dichte:
p(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} e^{\bruch{ln(t)^2}{2}} \bruch{1}{ln(t)} [/mm] dt

Aber keine Ahnug wie weiter :)

Wäre nett wenn es jmd mal bis hierher überprüfen könnte, und auf Fehler hinweißen kann.
Bezug
                        
Bezug
Dichtefunktion berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Di 17.04.2012
Autor: luis52

Moin

> Also ich hab ein Beispiel Gefunden bei der [mm]Y=X^{2}[/mm]
> behandelt wurde,

Na also, geht doch! ;-)

> wenn ich dies jetzt mal auf [mm]Y=e^{X}[/mm]
> anwende für N(0,1) komm ich auf das folgende:
>  
> P(Y [mm]\le[/mm] t) = [mm]P(e^{X} \le[/mm] t) = P(X [mm]\le[/mm] ln(t)) =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{ln(t)}{e^{\bruch{x^2}{2}} dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Fast richtig:

$P(Y\le t) = P(e^{X} \le t) = P(X \le\ln(t)) = \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\ln(t)}e^{\red{-}\bruch{x^2}{2}} dx}$



>  
> Um auf die Dichtefunktion zu kommen müsste ich also das
> Integral lösen und alles wieder nach x ableiten.
>  
> Stimmt das so?


Einfacher: Setze Obiges $=\Phi(\ln(t))$ und leite dann ab. Und was gilt fuer $t=-4711$?

>  
> Bei [mm]e^{-X}[/mm] würde die Integrationsgrenzen von ln(t) bis
> [mm]+\infty[/mm] gehen?

[notok] Nicht so voreilig ...
>  
> Bei dem min,max Problem weiß ich allerdings noch nicht
> weiter.

Anregungen:

[mm] $P(\max(X,Y)\le t)=P((X\le t)\cap (Y\le [/mm] t))$.

[mm] $\min(X,Y)=-\max(-X,-Y)$. [/mm]

Ansonsten []da schau her.

vg Luis



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