Dichtefunktion 3 < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Do 04.03.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen fc mit fc(t) = [mm] \begin{cases} ct^{-3}, & t \ge 1 \\ 0, & sonst \end{cases}
[/mm]
a) Zeige: für c = 2 ist [mm] f_{c} [/mm] eine Dichtefunktion.
b) Ermittle für c = 2 die Verteilungsfunktion [mm] F_{2}
[/mm]
c) eine Zufallsvariable X habe [mm] f_{2} [/mm] als Dichtefunktion. Bestimme [mm] P(2\le [/mm] X [mm] \le [/mm] 3) und P(X [mm] \ge [/mm] 3.5)
d) Berechne E(X). |
Ich zeige dass c = 2 eine Dichtefunktion ist, indem ich es integriere von 1 bis unendlich und das 1 geben sollte: Integriert erhält man:
die Bedingung f(x) [mm] \ge [/mm] 0 ist erfüllt durch [mm] t\ge [/mm] 1
[mm] $\vmat{-t^{-2}}_{1}^{\infty} [/mm] = 1$ ist ebenfalls erfüllt.
b) Verteilungsfunktion wäre:$ [mm] \integral_{1}^{t}{-t^{-2}} [/mm] $
c) $ [mm] P(2\le [/mm] X [mm] \le [/mm] 3)$ wäre ja das [mm] $\integral_{2}^{3}{-t^{-2}}$, [/mm] also [mm] $\frac{5}{36}$
[/mm]
d) [mm] $c\integral_{1}^{\infty}{t^{-2}} [/mm] = c [mm] \vmat{t^{-1}}_{1}^{\infty} [/mm] = 2 $
Stimmen meine Lösungen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Do 04.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo kushkush!
Die Stammfunktion hast Du doch bereits korrekt ermittelt:
[mm] $$\integral_1^{\infty}{f_c(x) \ dx} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \left| \ -t^{-2} \ \right|_1^{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \left| \ -\bruch{1}{t^2} \ \right|_1^{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\left| \ -\bruch{1}{t^2} \ \right|_1^b [/mm] \ = \ [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\left[-\bruch{1}{1^2}-\left(-\bruch{1}{b^2}\right)\right] [/mm] \ = \ ... \ = \ 1$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Do 04.03.2010 | | Autor: | kushkush |
Ich habe während ich dies eingetippt habe die Lösung gefunden und dann vergessen das Eigentippte zu ändern!
Danke
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Hallo,
> Gegeben sind die Funktionen fc mit fc(t) = [mm]\begin{cases} ct^{-3}, & t \ge 1 \\ 0, & sonst \end{cases}[/mm]
>
> a) Zeige: für c = 2 ist [mm]f_{c}[/mm] eine Dichtefunktion.
> b) Ermittle für c = 2 die Verteilungsfunktion [mm]F_{2}[/mm]
Das dürfte ja bereits geklärt sein.
> c) eine Zufallsvariable X habe [mm]f_{82}[/mm] als Dichtefunktion.
> Bestimme [mm]P(2\le[/mm] X [mm]\le[/mm] 3) und P(X [mm]\ge[/mm] 3.5)
Das wundert mich jetzt ehrlich gesagt ein wenig, diese Aufgabenstellung.
Weil bei dieser Dichtefunktion wäre ja F(x) gar keine Verteilungsfunktion...
> c) [mm]P(2\le X \le 3)[/mm] wäre ja das [mm]\integral_{2}^{3}{-t^{-2}}[/mm],
> also [mm]\frac{5}{36}[/mm]
Darauf komme ich nicht. Dein Ansatz ist auch falsch, du willst ja die Verteilungsfunktion nochmal integrieren! Außerdem benutzt du ja gar nicht c = 82.
Es ist
[mm] $P(2\le [/mm] X [mm] \le [/mm] 3) = [mm] P(X\le [/mm] 3) - P(X<2) = F(3) - F(2)$.
> d) [mm]c\integral_{1}^{\infty}{t^{-2}} = c \vmat{t^{-1}}_{1}^{\infty} = 2[/mm]
Nein, es sind dir einige Fehler unterlaufen:
[mm]c\integral_{1}^{\infty}{t^{-2}} = c \vmat{\red{-}t^{-1}}_{1}^{\infty} = c*(0-(-1)) = c[/mm]
wäre richtig.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Do 04.03.2010 | | Autor: | kushkush |
Zu b )
dann wäre die Verteilungsfunktion also : [mm] \integral_{1}^{y}{2t^{-3}}
[/mm]
c) [mm] \integral_{2}^{3}{2t^{-3}} [/mm] und [mm] 1-\integral_{0}^{3.5}{2t^{-3}}
[/mm]
Das wäre nun korrekt, oder?
Danke für die Korrekturen!
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Hallo!
> Zu b )
>
> dann wäre die Verteilungsfunktion also :
> [mm]\integral_{1}^{y}{2t^{-3}}[/mm]
okay.
Es gibt aber noch eine Feinheit: Was ist mit den Werten zwischen [mm] -\infty [/mm] und 1? Die vollständig richtige Verteilungsfunktion lautet:
[mm] $F_{2}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}0, \quad x < 1\\ 1-\frac{1}{x^2},\quad x \ge 1\end{cases}$
[/mm]
Also in Zukunft: An alle [mm] x\in\IR [/mm] denken!
> c) [mm]\integral_{2}^{3}{2t^{-3}}[/mm] und
> [mm]1-\integral_{0}^{3.5}{2t^{-3}}[/mm]
Das erste stimmt, das zweite noch nicht ganz:
$P(X > 3.5) = 1-P(X < 3.5) = 1 - F(3.5) = 1 - [mm] \int_{\red{1}}^{3.5}2*t^{-3}dt$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Do 04.03.2010 | | Autor: | kushkush |
wawawa das mit der 1 bei der Grenze hatte ich doch übersehen, und das mit dem [mm] x\in \IR [/mm] merke ich mir!
Danke!!!
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