Dichtefunktion < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(t) = [mm] a(1-t^2) [/mm] für -1<=t<=1
0 sonst
a) Skizzieren Sie die Dichte!
b) Berechnen Sie a! |
1. Kann man die Dichte überhaupt, ohne a vorher berechnet zu haben, zeichnen?
2. Stimmt folgende Rechnung?
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt}=1
[/mm]
--> [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{f(t) dt} [/mm] + [mm] \integral_{-1}^{1}{f(t) dt} +\integral_{1}^{\infty}{f(t) dt} [/mm] = 1
--> 0 + [mm] \integral_{-1}^{1}{f(t) dt} [/mm] +0 =1
--> [mm] a\integral_{-1}^{1}{1-t^2 dt} [/mm] =1
--> [mm] a(\integral_{-1}^{1}{1 dt} -\integral_{-1}^{1}{t^2 dt}
[/mm]
--> a((1-(-1)) -((1/3-(-1/3)))) =1 --> a=0,75
3. Da Mathe A bei mir schon etwas länger her ist, würde ich gern wissen ob z.B. vom [mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt} [/mm] das a bzw. b einschließlich oder ausschließlich ist.
Ich befürchte dann nämlich, dass die Grenzen(Integral) nicht sauber definiert sind. Wie würde es dann aussehen?
4. Ist das die generelle Vorgehensweise, dass man das Gesamtintervall gemäß dem Definitionsbereich der Dichte splittet?
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Hallo,
> 1. Kann man die Dichte überhaupt, ohne a vorher
> berechnet zu haben, zeichnen?
Na ja, es ist wie bei deiner anderen aktuellen Frage auch: exakt kann man das nicht, aber es steht ja auch 'Skizzieren' da und nicht 'Zeichnen'. 
>
> 2. Stimmt folgende Rechnung?
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt}=1[/mm]
>
> --> [mm]\integral_{-\infty}^{-1}{f(t) dt}[/mm] +
> [mm]\integral_{-1}^{1}{f(t) dt} +\integral_{1}^{\infty}{f(t) dt}[/mm]
> = 1
>
> --> 0 + [mm]\integral_{-1}^{1}{f(t) dt}[/mm] +0 =1
> --> [mm]a\integral_{-1}^{1}{1-t^2 dt}[/mm] =1
> --> [mm]a(\integral_{-1}^{1}{1 dt} -\integral_{-1}^{1}{t^2 dt}[/mm]
>
> --> a((1-(-1)) -((1/3-(-1/3)))) =1 --> a=0,75
Ja, das stimmt: [mm] a=\bruch{3}{4}=0.75
[/mm]
> 3. Da Mathe A bei mir schon etwas länger her ist, würde
> ich gern wissen ob z.B. vom [mm]\integral_{a}^{b}{f(t) dt}[/mm] das
> a bzw. b einschließlich oder ausschließlich ist.
Wie meinst du das? Bezogen auf eine stetige Verteilungsfunktion ist es egal, da hier stets [mm] F(X
> Ich befürchte dann nämlich, dass die Grenzen(Integral)
> nicht sauber definiert sind. Wie würde es dann aussehen?
Es gibt nichts zu befürchten. 
> 4. Ist das die generelle Vorgehensweise, dass man das
> Gesamtintervall gemäß dem Definitionsbereich der Dichte
> splittet?
Das ist eine etwas schwammige Frage. Dichte- und Verteilungsfunktionen sind naturgemäß oftmals abschnittsweise definiert. Dabei muss man natürlich stets für die Verteilungsfunktion die gleichen Abschnitte verwenden wie für die Dichte. Und stets auf folgende Punkte achten:
- [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0 [/mm]
- Die Verteilungsfunktion muss (rechts-)stetig und monoton steigend sein
- [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1 [/mm]
Gruß, Diophant
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Ich danke dir herzlich Diophant !
Nochmal zu der 1. Frage mit dem Skizzieren. Wenn ich jetzt zuerst a ausrechne ist das Zeichnen einfach: Ich setzt für t irgendein Wert ein und bekomm den Dazugehörigen (f(t)). Wenn ich das a aber noch nicht habe, muss ich doch iwas dafür annehmen. Ich checks grad nicht wie ich das ohne a machen soll?
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Hiho,
das a ist doch nur eine Skalierung.
d.h. ob da an der y-Achse ne 1 oder nen a steht ist für die Skizze völlig egal!
Insofern nimm für deine Skizze a=1 an und schreib statt 1 nen a an die y-Achse
MFG,
Gono.
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Hiho,
eine kleine Korrektur:
> - Die Verteilungsfunktion muss stetig und monoton steigend sein
rechtsstetig reicht aus, Stetigkeit muss nicht vorliegen.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:49 So 17.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hi Gono,
danke für die Korrektur. Ich habs oben noch ergänzt.
Gruß, Diophant
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