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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 So 29.03.2009 | | Autor: | elba |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konstanten [mm] c_1,c_2 \in \IR, [/mm] so dass die Funktion [mm] f_1,f_2 [/mm] Wahrscheinlichkeitsdichten auf [mm] \IR [/mm] sind.
a) [mm] f_1(x)= \bruch{c_1}{a^2+(x-b)^2} a,b\in \IR
[/mm]
b) [mm] f_2(x)= c_2 x^{-r} \dot1_{[1,\infty[} [/mm] (x), r>1
c) Geben Sie die Verteilungsfunktion von [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] an. |
Also für die Wahrscheinlichkeitsdichte muss ja gelten [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1, [/mm] oder? Ich muss ja jetzt mein [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] bestimmen.
Welche Grenzen setze ich denn dann bei a) ein?
Integriert ist doch [mm] f_1(x)= \bruch{c_1}{a^2+(x-b)}=[-c_1 tan^{-1}(\bruch{b-x}{a})], [/mm] oder??
Ich weiß leider nicht so wirklich wie da jetzt weiterkomme!!
Schon einmal Danke :)!!
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> Bestimmen Sie die Konstanten [mm]c_1,c_2 \in \IR,[/mm] so dass die
> Funktion [mm]f_1,f_2[/mm] Wahrscheinlichkeitsdichten auf [mm]\IR[/mm] sind.
> a) [mm]f_1(x)= \bruch{c_1}{a^2+(x-b)^2}\qquad (a,b\in \IR)[/mm]
> b) [mm]f_2(x)= c_2 x^{-r} * 1_{[1,\infty[}(x)\qquad (r>1)[/mm]
> c) Geben Sie die Verteilungsfunktion von [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] an.
> Also für die Wahrscheinlichkeitsdichte muss ja gelten
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1,[/mm] oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Klar !
> Ich muss ja jetzt mein [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] bestimmen.
> Welche Grenzen setze ich denn dann bei a) ein?
> Integriert ist doch [mm]f_1(x)= \bruch{c_1}{a^2+(x-b)}=[-c_1 tan^{-1}(\bruch{b-x}{a})],[/mm]
> oder??
Da müsstest du das Integral auch noch hinschreiben !
Ich erhalte:
[mm] $\integral f_1(x)\ [/mm] dx\ =\ [mm] \bruch{c_1}{a}*tan^{-1}(\bruch{x-b}{a})$
[/mm]
(das a im Nenner fehlte noch; Vorzeichen waren ok)
Integration von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] geht leicht, weil ja [mm] tan^{-1}
[/mm]
beidseitig endliche Grenzwerte hat. Ergebnis:
[mm] $\integral_{-\infty}^{+\infty} f_1(x)\ [/mm] dx\ =\ [mm] \bruch{c_1*\pi}{|a|}$
[/mm]
Dies muss den Wert 1 ergeben, also folgt: [mm] c_1=\bruch{|a|}{\pi}
[/mm]
Bei Aufgabe b) musst du wegen des Faktors [mm] 1_{[1,\infty[}(x) [/mm] ,
der für x<1 alles "auslöscht", nur von 1 bis [mm] \infty [/mm]
integrieren.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 29.03.2009 | | Autor: | elba |
Ok, danke schön!
Muss ich bei [mm] f_2(x) [/mm] beim integrieren die 1 beachten?? Oder ist mein Integral einfach: [mm] [\bruch{c_2}{-r+1} x^{-r+1}] [/mm] mit den Grenzen 1 und [mm] \infty [/mm] und daraus folgt dann: [mm] c_2= [/mm] -r+1???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 So 29.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo elba!
Ich erhalte am Ende [mm] $c_2 [/mm] \ = \ [mm] \red{-}(-r+1) [/mm] \ = \ r-1$ .
Gruß
Loddar
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