Dichte in den Zahlen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \gamma (x):=limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\parallel M\cap \{1,2,...n\}\parallel [/mm] M sei Teilmenge der natürlichen Zahlen.
a) geben sie eine konstruktionvorschrift für 2 disjunkte teilmengen von [mm] \IN [/mm] mit [mm] \gamma (M)=\gamma(N)=1 [/mm] |
ich bin der meinung, dass das zu zeigen unmöglich ist, weil wenn ich eine konstruktionsvorschrift geben kann, dann ist die teilmenge abzählbar und somit kann ich sie in ein verhältnis zu den natürlichen zahlen setzten und es kommt nicht mehr 1 raus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Do 15.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]\gamma (x):=limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\parallel M\cap \{1,2,...n\}\parallel[/mm]
> M sei Teilmenge der natürlichen Zahlen.
>
> a) geben sie eine konstruktionvorschrift für 2 disjunkte
> teilmengen von [mm]\IN[/mm] mit [mm]\gamma (M)=\gamma(N)=1[/mm]
>
> ich bin der
> meinung, dass das zu zeigen unmöglich ist, weil wenn ich
> eine konstruktionsvorschrift geben kann, dann ist die
> teilmenge abzählbar und somit kann ich sie in ein
> verhältnis zu den natürlichen zahlen setzten und es kommt
> nicht mehr 1 raus.
Doch, das kann man sehr wohl angeben. Konstruiere die Mengen doch wie folgt:
packe die ersten paar Zahlen zu [mm] $M_1$, [/mm] sagen wir mal [mm] $n_{1,1}$. [/mm] Dann nimm die paar naechsten und pack sie zu [mm] $M_2$, [/mm] sagen [mm] $n_{2,1}$. [/mm] Waelhe [mm] $n_{2,1}$ [/mm] (genug) groesser als [mm] $n_{1,1}$.
[/mm]
Dann packe wieder [mm] $n_{1,2}$ [/mm] Zahlen zu [mm] $M_1$, [/mm] wobei [mm] $n_{1,2}$ [/mm] (genug) groesser als [mm] $n_{2,1}$ [/mm] ist. Dann packe [mm] $n_{2,2}$ [/mm] Zahlen zu [mm] $M_2$, [/mm] wobei [mm] $n_{2,2}$ [/mm] (genug) groesser als [mm] $n_{1,2}$ [/mm] ist.
Usw. usf.
Du musst halt aufpassen, dass [mm] $\frac{\sum_{i=1}^k n_{1,k}}{\sum_{i=1}^{k-1} N_{2,k}}$ [/mm] und [mm] $\frac{\sum_{i=1}^k n_{2,k}}{\sum_{i=1}^{k-1} N_{1,k}}$ [/mm] jeweils gegen 1 gehen fuer $k [mm] \to \infty$.
[/mm]
LG Felix
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Aber wie schreibe ich das auf? Denn wenn ich z.B. jede gerade zahl zu M zähle und jede ungerade zu N kommt 1/2 raus.
Wenn ich irgendeine andere Vorschrift nehme, steht die auch in irgendeinem Verhältnis zu den natürlichen Zahlen und es kommt auch nicht 1 raus.
Wenn ich nur eine endliche Anzahl von Zahlen nicht zu M packe, sind zu wenig Zahlen für N da...
Ich verstehs nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Aber wie schreibe ich das auf? Denn wenn ich z.B. jede
> gerade zahl zu M zähle und jede ungerade zu N kommt 1/2
> raus.
> Wenn ich irgendeine andere Vorschrift nehme, steht die auch
> in irgendeinem Verhältnis zu den natürlichen Zahlen und
> es kommt auch nicht 1 raus.
>
> Wenn ich nur eine endliche Anzahl von Zahlen nicht zu M
> packe, sind zu wenig Zahlen für N da...
> Ich verstehs nicht
Na, so simpel geht das auch nicht. Du musst schon etwas mehr arbeiten.
Ich mach dir mal ein Beispiel vor mit einer Menge $M$, die unendlich Elemente aus [mm] $\IN$ [/mm] nicht enthaelt, aber [mm] $\gamma(M) [/mm] = 1$ erfuellt.
Setze dazu $M = [mm] \{ 2 \} \cup \{ 4, 5 \} \cup \{ 7, 8, 9 \} \cup \{ 11, 12, 13, 14 \} \cup \dots$. [/mm] (Das Prinzip solltest du erkennen.) Nicht in $M$ liegen also: $1, 3, 6, 10, 15, ...$.
Ist [mm] $a_n$ [/mm] die $n$-te Zahl, die nicht in $M$ liegt, dann gilt also [mm] $a_n [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] i = [mm] \frac{n (n + 1)}{2}$.
[/mm]
Weiterhin gilt damit [mm] $\frac{1}{a_n} [/mm] |M [mm] \cap \{ 1, \dots, a_n \}|$ [/mm] = [mm] \frac{a_n - n}{a_n} [/mm] - [mm] \frac{\frac{n (n - 1)}{2}}{\frac{n (n + 1)}{2}} [/mm] = [mm] \frac{n - 1}{n + 1}$. [/mm] Fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] geht dies nun gegen 1, womit du eine Teilfolge der Folge [mm] $\frac{1}{m} [/mm] |M [mm] \cap \{ 1, \dots, m \}|$ [/mm] hast die gegen 1 konvergiert, waehrend alle Folgenglieder [mm] $\le [/mm] 1$ (hier sogar $< 1$) sind. Damit ist der [mm] $\limsup$ [/mm] 1, du hast also [mm] $\gamma(M) [/mm] = 1$.
LG Felix
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