Dichte einer Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 So 05.09.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Die Zufallsvariable X hat die Dichte
[mm] f(n)=\begin{cases} ce^{-5x}, & \mbox{x>=0} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie die Konstante c, und berechnen Sie die Dichte der Zufallsvariablen [mm] Y=\wurzel{X} [/mm] |
Hallo,
Hier schon wieder so ein Aufgabentyp. Diesmal scheitert es jedoch nicht an der Berechnung von c, ich erhalte c=5, falls ich richtig gerechnet habe.
Das Problem hier ist der zweite Teil. Ich weiss gar nicht, wie ich das angehen soll. Inwiefern beeinflusst es denn die Dichtefunktion, dass Y und X so verbunden sind?
Vielen Dank für Hilfe!!
Liebe Grüsse,
Natascha
|
|
| |
|
Huhu,
> ich erhalte c=5,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Inwiefern beeinflusst es denn die
> Dichtefunktion, dass Y und X so verbunden sind?
Also: Mithilfte der Dichtefunktion kennst du ja die Verteilung von X (natürlich geht das noch schneller, wenn man sieht, dass X exponentialverteilt ist).
Du kannst nun die Verteilung von Y mithilfe der Verteilung von X ausrechnen.
Wenn du die Verteilung von Y kennst, kennst du ja auch die Dichte!
Also: Wie sieht denn die Verteilung von Y aus?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 So 05.09.2010 | | Autor: | natascha |
> Also: Mithilfte der Dichtefunktion kennst du ja die
> Verteilung von X (natürlich geht das noch schneller, wenn
> man sieht, dass X exponentialverteilt ist).
Au ja, das stimmt, das hätte ich merken müssen, dass die exponentialverteilt ist!
> Du kannst nun die Verteilung von Y mithilfe der Verteilung
> von X ausrechnen.
> Wenn du die Verteilung von Y kennst, kennst du ja auch die
> Dichte!
Ich erinnere mich, dass es so etwas gab, dass Produkte von Exponentialverteilungen auch wieder exponential verteilt sind, leider finde ich die entsprechenden Notizen nicht, aber ist da was dran? Weil eine Wurzel ist ja in einem gewissen Sinne auch eine Multiplikation mit sich selber, also einer exponentialverteilten Verteilung, oder?
Dann wüsste man, dass Y auch exponentiell verteilt ist...
|
|
|
| |
|
Huhu,
du schiesst mit Kanonen auf Spatzen 
Wie ist denn, ganz stupide erstmal, die Verteilung von Y definiert?
Forme dann IN der Verteilung so um, dass du die Verteilung von X verwenden kannst, die du ja kennst!
Also: $P[Y [mm] \le [/mm] y] = [mm] \ldots$
[/mm]
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 06.09.2010 | | Autor: | natascha |
Hallöchen,
Irgendwie verstehe ich das noch nicht so ganz...
> Also: [mm]P[Y \le y] = \ldots[/mm]
[mm]P[Y \le y] = \ldots[/mm] [mm] \wurzel{ce^{-5x}}
[/mm]
oder wäre das dann doch zu einfach?
Viele Grüsse,
Natascha
|
|
|
| |
|
Nein:
Fang an: [mm] $P[Y\le [/mm] y]$
Nun: Setze die Definition für Y ein und Forme dann so um, dass da steht $P[X [mm] \le \ldots]$
[/mm]
Dann verwende die Verteilung von X.
Mach das mal Schritt für Schritt und poste deine Ergebnisse hier.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mo 06.09.2010 | | Autor: | natascha |
Hallo,
also so:
P(Y <= y) = [mm] P(\wurzel(X) [/mm] <= y) = P (X <= y²)
Mit der Verteilung von X:
[mm] f(y^{2}) [/mm] = [mm] c*e^{-5y^{2}}, [/mm] falls [mm] y^{2} [/mm] >= 0
Stimmt das soweit?
Grüsse,
Natascha
|
|
|
| |
|
Hallo
> Hallo,
>
> also so:
> P(Y <= y) = [mm]P(\wurzel(X)[/mm] <= y) = P (X <= y²)
>
> Mit der Verteilung von X:
>
> [mm]f(y^{2})[/mm] = [mm]c*e^{-5y^{2}},[/mm] falls [mm]y^{2}[/mm] >= 0
>
> Stimmt das soweit?
Nicht ganz
Du hast also [mm]P(X \le y^{2}) = F_{X}(y^{2})[/mm]
Jetzt, wenn [mm]F_{X}[/mm] differenzierbar ist, kannste die Dichte finden.. das hast du richtig angewandt. ABER, du musst natürlich die Kettenregel beachten.. du hast die innere Ableitung vergessen :)
>
> Grüsse,
>
> Natascha
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Mo 06.09.2010 | | Autor: | natascha |
Hallo,
> Du hast also [mm]P(X \le y^{2}) = F_{X}(y^{2})[/mm]
>
> Jetzt, wenn [mm]F_{X}[/mm] differenzierbar ist, kannste die Dichte
> finden.. das hast du richtig angewandt. ABER, du musst
> natürlich die Kettenregel beachten.. du hast die innere
> Ableitung vergessen :)
So jetzt hab ich nochmal meine Notizen durchgesehen darüber und es müsste also gelten:
[mm] f_x(y^{2}) [/mm] = [mm] F_x'(y^{2})= (c*e^{-5y^{2}})' [/mm] = [mm] -50e^{-5y^{2}}*y
[/mm]
Und das ist ja dann die Dichte für y, oder?
Grüsse,
Natascha
|
|
|
| |
|
Hallo
> Hallo,
>
> > Du hast also [mm]P(X \le y^{2}) = F_{X}(y^{2})[/mm]
> >
> > Jetzt, wenn [mm]F_{X}[/mm] differenzierbar ist, kannste die Dichte
> > finden.. das hast du richtig angewandt. ABER, du musst
> > natürlich die Kettenregel beachten.. du hast die innere
> > Ableitung vergessen :)
>
> So jetzt hab ich nochmal meine Notizen durchgesehen
> darüber und es müsste also gelten:
> [mm]f_x(y^{2})[/mm] = [mm]F_x'(y^{2})= (c*e^{-5y^{2}})'[/mm] =
> [mm]-50e^{-5y^{2}}*y[/mm]
>
> Und das ist ja dann die Dichte für y, oder?
Nee, das stimmt so nicht. Wieso leitest du jetzt die Dichte ab??
Du hast [mm]P(Y \le y) = F_{X}(y^{2}) = F_{Y}(y)[/mm]
Somit gilt [mm]f_{Y} = (F_{X}(y^{2}))' = f_{X}(y^{2})*(y^{2})' = c\cdot e^{-5y^{2}}\cdot 2y = 2cy\cdot e^{-5y^{2}}[/mm]
Und dieses $c$ haste ja ausgerechnet, nicht?
>
> Grüsse,
>
> Natascha
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Mo 06.09.2010 | | Autor: | natascha |
Oh ok, jetzt seh ichs. Ich muss mir da wohl die Definitionen noch ein wenig besser ansehen. Vielen Dank für deine Hilfe!
Viele Grüsse,
Natascha
|
|
|
|
