Dichte einer Funktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 So 05.07.2009 | | Autor: | meg |
| Aufgabe | | X, Y seien exponentialverteilte Zufallsvariablen, d.h. [mm] \bruch{dP^X}{ \lambda}(x)=\bruch{dP^Y}{ \lambda}(x)=e^{-x}1_{[0,\infty)}(x). [/mm] X und Y seien unabhängig. Man muss zeigen, dass die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{2}exp(-|x|) [/mm] eine Dichte von [mm] \0X-Y [/mm] ist. |
Hallo zusammen,
wenn ich das Integral von [mm] e^{-x}1_{[0,\infty)}(x) [/mm] berechne, um die Verteilungsfunktion zu bestimmen, dann bekomme ich die gleichen Verteilungsfunktionen, sodass [mm] \0X-Y=0 [/mm] ist.... Könnte mir jemand vielleicht zeigen, wie die Integrale berechnet werden sollten? weil das Ergebnis [mm] \00 [/mm] bestimmt falsch ist :(
Weiter setze ich [mm] \0Z:=X-Y [/mm] und würde ich die Verteilungsfunktion von Z bestimmen:
[mm] F_{Z}(z)=P(Z
Danke im voraus für jede Hilfe!
Grüße
meg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 So 05.07.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin meg,
kennst du die markierte Formel auf Seite 4 ![[]](/images/popup.gif) hier? Bestimme vorher die Dichte von $-Y_$, und wende sie an auf $X+(-Y)$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 So 05.07.2009 | | Autor: | meg |
Hey,
danke erstmal für Deine Hilfe!
Man hat also zwei Dichtefunktionen:
einmal von [mm] \0X: f_{X}(x)=e^{-x} [/mm] und von [mm] \0-Y: f_{Y}(x)=-e^{-x}.
[/mm]
Berechne jetzt die Dichte von [mm] \0Z=X+(-Y) [/mm] mit Hilfe der markierten Formel:
[mm] f_{Z}(z)=\integral_{\infty}^{\infty}{-e^{-x} * e^{-(z-x)}}dx [/mm] =
[mm] =-\integral_{\infty}^{\infty}{e^{-x} * e^{x}*e^{-z}}dx=e^{z}
[/mm]
.....hmmmm :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Mo 06.07.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin meg,
> Man hat also zwei Dichtefunktionen:
> einmal von [mm]\0X: f_{X}(x)=e^{-x}[/mm] und von [mm]\0-Y: f_{Y}(x)=-e^{-x}.[/mm]
>
Das ist keine Dichte! $Y_$ nimmt nur negative Werte an. Sei $z<0$. Dann ist [mm] $P(-Y\le z)=P(Y\ge -z)=\exp(z)$. [/mm] Also ist die Dichte von $Z=-Y_$: [mm] $f_Z(z)=\exp(z)$ [/mm] fuer $z<0$ und [mm] $f_Z(z)=0$ [/mm] sonst, kurzum [mm] $f_Z(z)=\exp(z)1_{(-\infty,0)}(z)$.
[/mm]
vg Luis
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