Dichte berechnen < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Do 10.07.2008 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | Die zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) besitze die Dichte
f(X,Y)(x,y) = [mm] \begin{cases} 2e^{20-x-y}, & \mbox{falls } 10 < x < y < \infty
\\ 0, & \mbox{ } \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Überprüfen Sie, dass es sich bei f(X,Y) tatsächlich um eine Wahrscheinlichkeitsdichte handelt. |
Und zwar hab ich das Problem, dass bei meiner Lösung nicht 1 rauskommt - da ich aber auch keine Lösungen zu der Aufgabe hatte, wollte ich mal fragen was denn nun richtig ist - wenn bei mir der Fehler ist, würd ich gern wissen wo.
Und zwar hab ich mir zuerst überlegt, dass die Integration von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] über die Dichte ja 1 sein muss, wenn es sich um eine Dichte handeln soll.
Also bin ich so vorgegangen:
f(x,y) = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty} \integral_{- \infty}^{\infty} [/mm] {f(x,y) dx dy}
= [mm] \integral_{10}^{\infty} \integral_{10}^{\infty} {2e^{20-x-y}dx dy}
[/mm]
= [mm] \integral_{10}^{\infty} \integral_{10}^{\infty} {2e^{20} 2e^{-x} dx 2e^{-y} dy } [/mm]
= [mm] 2e^{20} [/mm] * [mm] 2[-e^{-x}] [/mm] * [mm] 2[-e^{-y}] [/mm]
= [mm] 2e^{20} [/mm] * [mm] 2e^{-10} [/mm] * [mm] 2e^{-10} [/mm]
(da die Grenze mit Unendlich eingesetzt gegen 0 geht und somit wegfällt)
= [mm] 2e^{20-10-10} [/mm] = [mm] 2e^{0} [/mm] = 2
Wieso kommt da nicht 1 raus?
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Fr 11.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Die zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) besitze die
> Dichte
>
> f(X,Y)(x,y) = [mm]\begin{cases} 2e^{20-x-y}, & \mbox{falls } 10 < x < y < \infty
\\ 0, & \mbox{ } \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Überprüfen Sie, dass es sich bei f(X,Y) tatsächlich um eine
> Wahrscheinlichkeitsdichte handelt.
> Und zwar hab ich das Problem, dass bei meiner Lösung nicht
> 1 rauskommt - da ich aber auch keine Lösungen zu der
> Aufgabe hatte, wollte ich mal fragen was denn nun richtig
> ist - wenn bei mir der Fehler ist, würd ich gern wissen
> wo.
> Und zwar hab ich mir zuerst überlegt, dass die Integration
> von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm] über die Dichte ja 1 sein muss, wenn
> es sich um eine Dichte handeln soll.
> Also bin ich so vorgegangen:
>
> f(x,y) = [mm]\integral_{- \infty}^{\infty} \integral_{- \infty}^{\infty}[/mm]
> {f(x,y) dx dy}
> = [mm]\integral_{10}^{\infty} \integral_{10}^{\infty} {2e^{20-x-y}dx dy}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{10}^{\infty} \integral_{10}^{\infty} {2e^{20} 2e^{-x} dx 2e^{-y} dy }[/mm]
> = [mm]2e^{20}[/mm] * [mm]2[-e^{-x}][/mm] * [mm]2[-e^{-y}][/mm]
> = [mm]2e^{20}[/mm] * [mm]2e^{-10}[/mm] * [mm]2e^{-10}[/mm]
> (da die Grenze mit Unendlich eingesetzt gegen 0 geht und
> somit wegfällt)
> = [mm]2e^{20-10-10}[/mm] = [mm]2e^{0}[/mm] = 2
>
> Wieso kommt da nicht 1 raus?
> Danke!
Hallo,
ich kann deinem Vorgehen nicht so richtig folgen, mir fehlt der Durchblick. Aber hast du auch die in der Ungleichungskette steckende Bedingung x<y verwendet? Wenn du auch x>y zugelassen haben solltest, würde dies erklären, warum deine Wahrscheinlichkeit doppelt so groß ist, wie sie sein müsste.
Gruß Abakus
|
|
|
|
