Dichte, abh. exp. ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:28 Mi 10.09.2008 | | Autor: | sawfish |
Hallo Forum!
Die Bestimmung der gemeinsamen Dichte (engl. joint density) von abhängigen exponentialverteilten Zufallsvariablen macht mir etwas zu schaffen:
Seien [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \IR^3$, $\mathfrak{F} [/mm] = [mm] \mathfrak{B}(\IR^3)$ [/mm] und [mm] $X_1,X_2,Y,Z [/mm] : [mm] (\Omega,\mathfrak{F}) \mapsto (\IR,\mathfrak{B}(\IR))$ [/mm] Zufallsvariablen,
mit [mm] $X_1,Y \sim \exp(\lambda)$ [/mm] und $Y [mm] \sim \exp(\mu)$, $\lambda \not= \mu$, [/mm] wobei [mm] $X_1,X_2,Y$ [/mm] unabhängig sind.
Es gelte [mm] $X_1(x_1,x_2,y) [/mm] = [mm] x_1$, $X_2(x_1,x_2,y)=x_2$ [/mm] und [mm] $Y(x_1,x_2,y) [/mm] = y$.
Meine Probleme beginnen bei der Zufallsvariable
[mm] $Z(x_1,x_2,y) [/mm] = [mm] \begin{cases} x_1 & \text{ falls } x_1 \le x_2 \\ x_2+y & \text{ sonst.} \end{cases}$
[/mm]
$Z$ ist ja leider abhängig von [mm] $X_1,X_2$ [/mm] und $Y$. Ich habe bereits bewiesen (zweimal auf unterschiedliche Arten, der Beweis ist nicht ganz trivial), dass $Z$ die Dichte [mm] $f_Z(z) [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda z}$ [/mm] hat (das überrascht zunächst, da z.B. auch gilt [mm] $f_{X_1}(x_1) [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda x_1}$). [/mm]
Jetzt interessieren mich die gemeinsamen Dichten (engl. "joint density") z.B. von [mm] $X_1$ [/mm] und $Z$ oder [mm] $X_1,X_2$ [/mm] und $Z$. Wie kann ich also zum Beispiel [mm] $f_{X_1,X_2,Z}(x_1,x_2,z)$ [/mm] ausrechnen?
Zunächst habe ich versucht, die Verteilungsfunktion [mm] $F_{X_1,X_2,Z}(x_1,x_2,z)$ [/mm] zu bestimmen. Das führt aber zu extrem komplizierten und unstetigen $e$-Funktionen, bei denen ich keine Möglichkeit sehe, die zugehörige Dichte zu bestimmen.
Meine Versuche, direkt aus den Dichten, die ich kenne, z.B.
[mm] $f_{X_1}(x_1) [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda x_1}$, $f_{X_1,X_2,Y}(x_1,x_2,y) [/mm] = [mm] f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) f_Y(y)$, $f_Z(z) [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda z}$ [/mm]
die Dichte [mm] $f_{X_1,X_2,Z}$ [/mm] zu bestimmen, schlugen auch alle fehl.
Vielleicht kann mir hier ja jemand helfen oder einen Tipp geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schöne Grüße und vielen Dank
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Mi 24.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn ich das richtig verstehe, kannst du folgendes als bekannt nutzen (oder hast es schon gezeigt)
*) $ [mm] f_{X_1}(x_1) [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda x_1} [/mm] $
**) $ [mm] f_{X_1,X_2,Y}(x_1,x_2,y) [/mm] = [mm] f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) f_Y(y) [/mm] $
***)$ [mm] f_Z(z) [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda z} [/mm] $
Und jetzt willst du
$ [mm] f_{X_1,X_2,Z}(\red{X_1,X_2,Z}) [/mm] $ bestimmen, auch richtig?
Mit **) kannst du doch umformen, oder?
[mm] f_{X_1,X_2,Z}(X_1,X_2,Z)
[/mm]
[mm] \stackrel{**)}{=}f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) f_Z(z)
[/mm]
Und diese Einzelglieder kannst du doch auch einzeln ermitteln, oder täusche ich mich da jetzt völlig?
Da isch nicht so fit in Stochastik bin, lasse ich die Frage mal auf unbeantwortet stehen.
Marius
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:00 Mo 29.09.2008 | | Autor: | sawfish |
Hallo Marius!
Zunächst mal Danke, dass Du meinen (zugegebener maßen langen) Beitrag so genau
durchgelesen hast! Du hast natürlich Recht, dass [mm] $f_Z(z) [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda z} [/mm] = [mm] f_Y(z)$ [/mm] gilt.
Wenn ich richtig liege, ist aber in der gemeinsamen Verteilung von [mm] $X_1,X_2$ [/mm] und $Z$
der Wert von $Z$ nicht unabhängig von den Werten von [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$, [/mm] weshalb ich
auch nicht die Dichten multiplizieren kann. Das gilt doch auch, wenn alleine betrachtet
$Z$ und $Y$ die gleiche Dichte haben, oder?
Bei der gemeinsamen Verteilung von [mm] $X_1,X_2$ [/mm] und $Y$ dagegen (Dein Fall (**)) besteht keine Abhängigkeit weshalb ich ihre Dichten hier einfach miteinander multiplizieren darf...
Was meint Ihr? Klingt das plausibel?
Schöne Grüße und Danke für Eure Mühe
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 30.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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