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| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass
f(x) = [mm] a*x^{-(a+1)} [/mm] 1 [mm] _{(1,\infty)}(x), [/mm] a > 0 die Dichte einer Verteilung bildet. Berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion F. Diese Verteilung heißt Pareto- Verteilung zum Parameter a > 0.
b) Die Lebensdauer X einer Maschine sei Pareto-verteilt zum Parameter
a> 0 (gemessen in Monaten). Bei der Bestimmung der Lebensdauer soll die Anzahl der Monate ganzzahlig abgerundet werden; T := [mm] |_X_| [/mm] sei die untere Gaußklammer von T. Bestimmen Sie die Verteilung von T. Geben Sie für = 1 die Zähldichte von [mm] P^{T} [/mm] an. Was erhalten
Sie, wenn keine einmonatige Garantie vorliegt und die Lebensdauer
X' := X − 1 beträgt? (Die Lösung kann mit Teil c) erfolgen.)
c) Sei X eine stetig verteilte Zufallsvariable mit Riemannscher Dichte f und Verteilungsfunktion
x |-> F(x) [mm] =\integral_{-\infty }^{x}{f(u) du}
[/mm]
Seien a [mm] \in [/mm] R und t > 0. Zeigen Sie:
i) Die Zufallsvariable X + a besitzt die Verteilungsfunktion x |-> F(x − a) und eine Riemannsche Dichte u |-> f(u − a).
ii) Die Zufallsvariable tX besitzt die Verteilungsfunktion
x |-> F( x/t ) und eine Riemannsche Dichte u |-> 1/t f(u/t ). |
Hallo,
die Aufgabe wirkt wie ein Monster für mich vielleicht könnt ihr sie ja bendigen.
Hab google schon nach Pareto durchgeforstet nur finde keinen Ansatz für die Aufgabe. Könnt ihr mir helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Mo 10.11.2008 | | Autor: | reverend |
Du findest schneller, wenn Du bei google eingibst:
define:pareto
Nach zwei Schritten bist Du dann bei ![[]](/images/popup.gif) diesem Link.
Das macht die Aufgabe leider auch nicht übersichtlicher, sorry.
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Hallo Natalie,
> a) Zeigen Sie, dass
>
> [mm]f(x) = a*x^{-(a+1)}*1_{(1,\infty)}(x),[/mm] (a > 0)
> die Dichte einer Verteilung bildet.
Das muss man zuerst einmal richtig lesen können.
Mit der Eins-Funktion ist folgendes gemeint:
1 [mm] (x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x >1 \\ 0, & \mbox{für } x\le 1 \end{cases}
[/mm]
Die Funktion f kann man also auch so schreiben:
[mm] f(x)=\begin{cases} a*x^{-a-1}, & \mbox{für } x >1 \\ 0, & \mbox{für } x\le 1 \end{cases}
[/mm]
Soll dies eine Dichtefunktion sein, muss
$\ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}f(x)\ [/mm] dx=1$
sein. Dies muss man nachrechnen. Effektiv
geht das Integral natürlich nur von 1 bis [mm] \infty [/mm] !
> Berechnen Sie die zugehörige
> Verteilungsfunktion F. Diese Verteilung heißt Pareto-
> Verteilung zum Parameter a> 0.
Es ist [mm] F(x)=\integral_{-\infty}^{x}f(x)\ [/mm] dx
Das hast du ja eigentlich schon, wenn du das Integral geschafft hast.
> b) Die Lebensdauer X einer Maschine sei Pareto-verteilt zum
> Parameter a> 0 (gemessen in Monaten). Bei der Bestimmung
> der Lebensdauer soll die Anzahl der Monate ganzzahlig
> abgerundet werden; T := [mm]|_X_|[/mm] sei die untere Gaußklammer
> von T. Bestimmen Sie die Verteilung von T.
Hier soll man aus der stetigen Dichtefunktion f(x)
eine diskrete Dichtefunktion g(T) machen, wobei
[mm] T\in \IN [/mm] und [mm] g(T)=P(T\le [/mm] x [mm] \le [/mm] T+1)
g(T) berechnet man als Integral:
[mm] g(T)=\integral_{x=T}^{T+1}f(x)\ [/mm] dx
> Geben Sie für a=1 die Zähldichte von [mm]P^{T}[/mm] an.
(das sollte schon a=1 lauten, oder ?)
Was mit P und [mm] P^T [/mm] konkret gemeint ist, ist mir
(in Bezug auf das Beispiel mit der Lebensdauer von
Maschinen) nicht klar.
> Was erhalten Sie, wenn keine einmonatige Garantie
> vorliegt und die Lebensdauer
> X' := X - 1 beträgt? (Die Lösung kann mit Teil c)
> erfolgen.)
>
> c) Sei X eine stetig verteilte Zufallsvariable mit
> Riemannscher Dichte f und Verteilungsfunktion
> x [mm] \mapsto [/mm] F(x) [mm]=\integral_{-\infty }^{x}{f(u) du}[/mm]
>
> Seien a [mm]\in[/mm] R und t > 0. Zeigen Sie:
> i) Die Zufallsvariable X + a besitzt die
> Verteilungsfunktion x [mm] \mapsto [/mm] F(x - a) und eine
> Riemannsche Dichte u [mm] \mapsto [/mm] f(u - a).
> ii) Die Zufallsvariable tX besitzt die Verteilungsfunktion
> x [mm] \mapsto [/mm] F( x/t ) und eine Riemannsche Dichte u [mm] \mapsto [/mm] 1/t f(u/t).
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
Hallo Al-Chwarizmi ,
> [mm]f(x)=\begin{cases} a*x^{-a-1}, & \mbox{für } x >1 \\ 0, & \mbox{für } x\le 1 \end{cases}[/mm]
> Soll dies eine Dichtefunktion sein, muss
> [mm]\ \integral_{-\infty}^{\infty}f(x)\ dx=1[/mm]
> sein. Dies muss man nachrechnen. Effektiv
> geht das Integral natürlich nur von 1 bis [mm]\infty[/mm] !
Ok, [mm]\ \integral_{-\infty}^{\infty}a*x^{-a-1}\ dx=1[/mm] [mm] =[\bruch {-1}{x^{a}}]^{\infty}_{-\infty} [/mm] = [mm] [\bruch {-1}{x^{a}}]^{\infty}_{>1}.
[/mm]
Und jetzt nachrechen? Aber wie soll man das so zeigen?
> > Berechnen Sie die zugehörige
> > Verteilungsfunktion F. Diese Verteilung heißt Pareto-
> > Verteilung zum Parameter a> 0.
> Es ist [mm]F(x)=\integral_{-\infty}^{x}f(x)\[/mm] dx
> Das hast du ja eigentlich schon, wenn du das Integral
> geschafft hast.
Demnach [mm] F(x)=\integral_{-\infty}^{x}f(x) [/mm] dx = [mm] \integral_{-\infty}^{x}a*x^{-a-1} [/mm] dx [mm] =[\bruch {-1}{x^{a}}]^{x}_{-\infty} [/mm] = [mm] \bruch {-1}{x^{a}} [/mm]
> > b) Die Lebensdauer X einer Maschine sei Pareto-verteilt zum
> > Parameter a> 0 (gemessen in Monaten). Bei der Bestimmung
> > der Lebensdauer soll die Anzahl der Monate ganzzahlig
> > abgerundet werden; T := [mm]|_X_|[/mm] sei die untere Gaußklammer
> > von T. Bestimmen Sie die Verteilung von T.
>
> Hier soll man aus der stetigen Dichtefunktion f(x)
> eine diskrete Dichtefunktion g(T) machen, wobei
> [mm]T\in \IN[/mm] und [mm]g(T)=P(T\le[/mm] x [mm]\le[/mm] T+1)
> g(T) berechnet man als Integral:
>
> [mm]g(T)=\integral_{x=T}^{T+1}f(x)\[/mm] dx
>
> > Geben Sie für a=1 die Zähldichte von [mm]P^{T}[/mm] an.
>
> (das sollte schon a=1 lauten, oder ?)
Ja genau.
Ist schon schwer wenn ich den Teil a) der Aufgabe lösen kann dann bin ich erst mal zufrieden.
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Guten Abend Natalie
> Ok, [mm]\ \integral_{-\infty}^{\infty}a*x^{-a-1}\ dx=\left[\bruch {-1}{x^{a}}\right]^{\infty}_{>1}.[/mm]
das stimmt so nicht wirklich !
(im Integranden sollte immer noch der Faktor [mm] 1_{(1,\infty)} [/mm] stehen)
Stammfunktion für x>1 richtig, aber
für [mm] x\le [/mm] 1 ist ja f(x)=0 und auch F(x)=0
> Und jetzt
> nachrechen? Aber wie soll man das so zeigen?
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}a*x^{-a-1}*1_{(1,\infty)}\ dx=0+\integral_{1}^{\infty}a*x^{-a-1}\ [/mm] dx= [mm] \left[\bruch {-1}{x^{a}}\right]^{\infty}_{1}=\bruch {-1}{\infty^{a}}-\bruch {-1}{1^{a}}=0+\bruch {1}{1^{a}}=1\qquad\qquad (a>0\quad [/mm] !)$
(die Einzelheiten sollte man ev. durch
Grenzwertrechnungen erklären)
> > > Berechnen Sie die zugehörige
> > > Verteilungsfunktion F. Diese Verteilung heißt Pareto-
> > > Verteilung zum Parameter a> 0.
> > Es ist [mm]F(x)=\integral_{-\infty}^{x}f(x)\[/mm] dx
> > Das hast du ja eigentlich schon, wenn du das Integral
> > geschafft hast.
>
> Demnach [mm]\ F(x)=\integral_{-\infty}^{x}f(x) dx =\integral_{-\infty}^{x}a*x^{-a-1} dx=\left[\bruch {-1}{x^{a}}\right]^{x}_{-\infty}= \bruch {-1}{x^{a}}[/mm]
Für [mm] x\le [/mm] 1 ist wie gesagt immer F(x)=0.
Beschränken wir uns von jetzt an auf Werte [mm] x\ge [/mm] 1 !
Für diese gilt:
$\ [mm] F(x)=\integral_{1}^{x}f(x) [/mm] dx [mm] =\integral_{1}^{x}a*x^{-a-1} dx=\left[\bruch {-1}{x^{a}}\right]_{1}^{x}= \bruch {-1}{x^{a}}-\bruch {-1}{1^{a}}=1-x^{-a}$ [/mm]
> > > b) Die Lebensdauer X einer Maschine sei Pareto-verteilt zum
> > > Parameter a> 0 (gemessen in Monaten). Bei der Bestimmung
> > > der Lebensdauer soll die Anzahl der Monate ganzzahlig
> > > abgerundet werden; T := [mm]|_X_|[/mm] sei die untere Gaußklammer
> > > von T. Bestimmen Sie die Verteilung von T.
> >
> > Hier soll man aus der stetigen Dichtefunktion f(x)
> > eine diskrete Dichtefunktion g(T) machen, wobei
> > [mm]T\in \IN[/mm] und [mm]g(T)=P(T\le[/mm] x [mm]\le[/mm] T+1)
> > g(T) berechnet man als Integral:
> >
> > [mm]g(T)=\integral_{x=T}^{T+1}f(x)\ dx[/mm]
Es gilt: $\ g(T)= [mm] \integral_{x=T}^{T+1}f(x)\ dx=\left[-x^{-a}\right]_T^{T+1}=\bruch{1}{T^{a}}-\bruch{1}{(T+1)^{a}}$
[/mm]
Ich empfehle dir, wenigstens einmal den Fall a=1
durchzurechnen und g(1),g(2),g(3),g(4),g(5),... zu
berechnen (nicht mit dem Rechner, sondern als Brüche !).
Diese Werte kannst du als Säulendiagramm darstellen
und mit dem Graph der Dichtefunktion f(x) vergleichen.
Das wird dir ein paar wichtige Einsichten liefern !
Gruß  Al-Chwarizmi
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| Aufgabe | b) Die Lebensdauer X einer Maschine sei Pareto-verteilt zum Parameter
a> 0 (gemessen in Monaten). Bei der Bestimmung der Lebensdauer soll die Anzahl der Monate ganzzahlig abgerundet werden; T := $ [mm] |_X_| [/mm] $ sei die untere Gaußklammer von T. Bestimmen Sie die Verteilung von T. Geben Sie für a = 1 die Zähldichte von $ [mm] P^{T} [/mm] $ an. Was erhalten
Sie, wenn keine einmonatige Garantie vorliegt und die Lebensdauer
X' := X − 1 beträgt? (Die Lösung kann mit Teil c) erfolgen.)
c) Sei X eine stetig verteilte Zufallsvariable mit Riemannscher Dichte f und Verteilungsfunktion
x |-> F(x) $ [mm] =\integral_{-\infty }^{x}{f(u) du} [/mm] $
Seien a $ [mm] \in [/mm] $ R und t > 0. Zeigen Sie:
i) Die Zufallsvariable X + a besitzt die Verteilungsfunktion x |-> F(x − a) und eine Riemannsche Dichte u |-> f(u − a).
ii) Die Zufallsvariable tX besitzt die Verteilungsfunktion
x |-> F( x/t ) und eine Riemannsche Dichte u |-> 1/t f(u/t ). |
Morgen Al-Chwarizmi,
jetzt muß man noch für b)
"Geben Sie für a = 1 die Zähldichte von $ [mm] P^{T} [/mm] $ an." angeben oder.
also mit a=0
[mm] g(1)=1-\bruch{1}{1}-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] g(2)=1-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}=\bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] g(3)=1-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}=\bruch{1}{12}
[/mm]
[mm] g(4)=1-\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5}=\bruch{1}{20}
[/mm]
[mm] g(5)=1-\bruch{1}{5}-\bruch{1}{6}=\bruch{1}{30}
[/mm]
[mm] g(6)=1-\bruch{1}{6}-\bruch{1}{7}=\bruch{1}{42}
[/mm]
[mm] g(7)=1-\bruch{1}{7}-\bruch{1}{8}=\bruch{1}{56}
[/mm]
...
Also Zähldichte von [mm] P^{T}
[/mm]
[mm] g(T)=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{12}+\bruch{1}{20}+\bruch{1}{30}+\bruch{1}{42}+\bruch{1}{56}+....?
[/mm]
Soll man hier was genaues angeben?
Dann
"Was erhalten
Sie, wenn keine einmonatige Garantie vorliegt und die Lebensdauer
X' := X − 1 beträgt? (Die Lösung kann mit Teil c) erfolgen.)"
hhmmm weiß nicht wie man c) lösen kann
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> b) Die Lebensdauer X einer Maschine sei Pareto-verteilt zum
> Parameter
> a> 0 (gemessen in Monaten). Bei der Bestimmung der
> Lebensdauer soll die Anzahl der Monate ganzzahlig
> abgerundet werden; T := [mm]|_X_|[/mm] sei die untere Gaußklammer
> von T. Bestimmen Sie die Verteilung von T. Geben Sie für a
> = 1 die Zähldichte von [mm]P^{T}[/mm] an. Was erhalten
> Sie, wenn keine einmonatige Garantie vorliegt und die
> Lebensdauer
> X' := X - 1 beträgt? (Die Lösung kann mit Teil c) erfolgen.)
>
> c) Sei X eine stetig verteilte Zufallsvariable mit
> Riemannscher Dichte f und Verteilungsfunktion
> x [mm] \mapsto [/mm] F(x) [mm]=\integral_{-\infty }^{x}{f(u) du}[/mm]
>
> Seien a [mm]\in[/mm] R und t > 0. Zeigen Sie:
> i) Die Zufallsvariable X + a besitzt die
> Verteilungsfunktion x [mm] \mapsto [/mm] F(x - a) und eine
> Riemannsche Dichte u [mm] \mapsto [/mm] f(u - a).
> ii) Die Zufallsvariable tX besitzt die
> Verteilungsfunktion
> [mm] \mapsto [/mm] F( x/t ) und eine Riemannsche Dichte u [mm] \mapsto [/mm] 1/t f(u/t ).
> Morgen Al-Chwarizmi,
> jetzt muß man noch für b)
> "Geben Sie für a=1 die Zähldichte von [mm] P^T [/mm] an."
>
> also
> [mm]g(1)=1-\bruch{1}{1}-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]g(2)=1-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}=\bruch{1}{6}[/mm]
> [mm]g(3)=1-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}=\bruch{1}{12}[/mm]
> [mm]g(4)=1-\bruch{1}{4}-\bruch{1}{5}=\bruch{1}{20}[/mm]
> [mm]g(5)=1-\bruch{1}{5}-\bruch{1}{6}=\bruch{1}{30}[/mm]
> [mm]g(6)=1-\bruch{1}{6}-\bruch{1}{7}=\bruch{1}{42}[/mm]
> [mm]g(7)=1-\bruch{1}{7}-\bruch{1}{8}=\bruch{1}{56}[/mm]
> ...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
soweit ich sehe, stellt die Funktion g schon die
(diskrete) Zähldichte der Zufallsvariablen T dar.
(für [mm] T\in \IZ^- [/mm] wäre jeweils g(T)=0)
[mm]\red{\summe_{T=1}^{\infty}}g(T)=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{12}+\bruch{1}{20}+\bruch{1}{30}+\bruch{1}{42}+\bruch{1}{56}+....?[/mm]
> Soll man hier was genaues angeben?
Diese Reihe hat natürlich wieder die Summe 1, denn
wir haben sie ja erzeugt, indem wir die Fläche zwischen
der x-Achse, der Geraden x=1 und der Kurve y=f(x) in
eine treppenförmige Fläche gleichen Inhaltes verwandelt
haben. Dass die Summe 1 ist, kann man auch einsehen,
indem man ihre Summanden wieder so aufdröselt, wie
sie entstanden sind, z.B. [mm] \bruch{1}{42}=\bruch{1}{6}-\bruch{1}{7} [/mm] .
Was dann mit P , [mm] P^T [/mm] und "Zähldichte von [mm] P^T [/mm] " ? gemeint
ist, verstehe ich leider nicht. Ist hier P eine Zahl und [mm] P^T
[/mm]
eine Potenz davon ?? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Oder ist etwa [mm] P^T [/mm] einfach die Zähldichte von T, welche
wir oben mit g bezeichnet haben ?
(mich hat vielleicht einfach die Bezeichnungsweise verwirrt:
vielleicht sollte es heissen: "die Zähldichte [mm] P^T [/mm] von T "
> Dann
> "Was erhalten
> Sie, wenn keine einmonatige Garantie vorliegt und die
> Lebensdauer
> X' := X - 1 beträgt? (Die Lösung kann mit Teil c)
> erfolgen.)"
Dann verschiebt sich einfach die Zeitskala um 1 !
> hhmmm weiß nicht wie man c) lösen kann
Bei i) handelt es sich um diese triviale Verschiebung
der Zeitskala, bei ii) um die Einführung einer anderen
Einteilung der Zeitskala, indem man z.B. die Zeit nicht
in Monaten, sondern in Jahren angibt. Am besten
machst du dir dies zunächst an einem solchen
Beispiel klar.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Di 11.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
> > b) Die Lebensdauer X einer Maschine sei Pareto-verteilt zum Parameter
> > a> 0 (gemessen in Monaten). Bei der Bestimmung der
> > Lebensdauer soll die Anzahl der Monate ganzzahlig
> > abgerundet werden; T := [mm]|_X_|[/mm] sei die untere Gaußklammer
> > von T. Bestimmen Sie die Verteilung von T. Geben Sie für a
> > = 1 die Zähldichte von [mm]P^{T}[/mm] an. Was erhalten
> > Sie, wenn keine einmonatige Garantie vorliegt und die
> > Lebensdauer X' := X - 1 beträgt? (Die Lösung kann mit Teil c) > >erfolgen.)
> > c) Sei X eine stetig verteilte Zufallsvariable mit
> > Riemannscher Dichte f und Verteilungsfunktion
> > x [mm]\mapsto[/mm] F(x) [mm]=\integral_{-\infty }^{x}{f(u) du}[/mm]
> >
> > Seien b [mm]\in[/mm] R und t > 0. Zeigen Sie:
> > i) Die Zufallsvariable X + b besitzt die
> > Verteilungsfunktion x [mm]\mapsto[/mm] F(x - b) und eine
> > Riemannsche Dichte u [mm]\mapsto[/mm] f(u - b).
> > ii) Die Zufallsvariable tX besitzt die
> > Verteilungsfunktion
> > [mm]\mapsto[/mm] F( x/t ) und eine Riemannsche Dichte u [mm]\mapsto[/mm]
> 1/t f(u/t ).
> Diese Reihe hat natürlich wieder die Summe 1,...
Peinlich hatte ich gar nicht gesehen(zuviel gerechnet :) )
> Was dann mit P , [mm]P^T[/mm] und "Zähldichte von [mm]P^T[/mm] " ? gemeint
> ist, verstehe ich leider nicht. Ist hier P eine Zahl und
> [mm]P^T[/mm]
> eine Potenz davon ??
> Oder ist etwa [mm]P^T[/mm] einfach die Zähldichte von T, welche
> wir oben mit g bezeichnet haben ?
> (mich hat vielleicht einfach die Bezeichnungsweise
> verwirrt:
> vielleicht sollte es heissen: "die Zähldichte [mm]P^T[/mm] von T "
Kann mich dir nur anschließen.
> > Dann
> > "Was erhalten
> > Sie, wenn keine einmonatige Garantie vorliegt und die
> > Lebensdauer
> > X' := X - 1 beträgt? (Die Lösung kann mit Teil c)
> > erfolgen.)"
>
> Dann verschiebt sich einfach die Zeitskala um 1 !
Ok, dan starte ich bei g(0)=0 und ende bei [mm] g(T-1)=\bruch{1}{(T-1)^{a}}-\bruch{1}{(T)^{a}} [/mm]
Anhand der Summierung der Zähldichte kann man erkennen das sich nix ändert oder?
Ohh sehe gerade das ich das [mm] \alpha [/mm] zu a ungünstig in den Aufgaben geändert hab da in c) a steht, ersetze es mit b. s.oben
> Bei i) handelt es sich um diese triviale Verschiebung
> der Zeitskala, bei ii) um die Einführung einer anderen
> Einteilung der Zeitskala, indem man z.B. die Zeit nicht
> in Monaten, sondern in Jahren angibt. Am besten
> machst du dir dies zunächst an einem solchen
> Beispiel klar.
Ok kann es nachvollziehen
i)Durch X+b werden in der Verteilungsfunktion die fehlenden abgezogen.
ii)Durch t*X werden in der Verteilungsfunktion die fehlenden geteilt.
Die Frage ist nur wie "Zeigt" man sowas?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Do 13.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 12.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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