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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Dichte/Erwartungswert
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Dichte/Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:08 So 24.06.2012
Autor: Cyantific

Aufgabe
Der Graf einer Funktion f(t) sei durch das folgende Schaubild gegeben, wobei der Parameter a>0 beliebig gewählt werden kann : [Dateianhang nicht öffentlich]

a) Wie ist der Parameter a zu wählen ,damit die Funktion f eine Dichte einer Zufallsvariablen X ist?

b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X

Hallo,

Zu a) Stimmet es, dass a den Wert 1 annimmt (Aufteilen des Intervalls + integrieren)?


Zu b) Mein Erwartungswert ist 0, was mich ein bisschen stutzig macht. Bin folgendermaßen vorgegangen:

E(X)= [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{x*f(x) dx}+\integral_{-1}^{0}{x*f(x) dx}+\integral_{0}^{1}{x*f(x) dx}+\integral_{1}^{\infty}{x*f(x) dx} [/mm]

Erstes und letztes Integaral ist 0. E(X)= [mm] \integral_{-1}^{0}{x*(x+1) dx}+\integral_{0}^{1}{x*(-x+1) dx} [/mm]

Weiteres aufteilen und ausrechnen der Integrale ergibt 0, kann das sein?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Dichte/Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:50 So 24.06.2012
Autor: tagg

Hallo,

zu a):
Welche wichtige Eigenschaft muss denn erfüllt sein, damit man von einer Wahrscheinlichkeitsdichte sprechen kann?

(Ich komme dabei auch auf $a=1$, da aber das ganze nach nem schönen stinknormalen Dreieck aussieht, brauchst du da eigentlich noch nicht mal großartig zu integrieren ;-))

zu b)
Warum wundert es dich denn, dass du den Erwartungswert null kriegst? Wenn f die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariable beschreibt, so hast du doch bei $x=0$ ein Maximum, also ist dieser Wert doch am wahrscheinlichsten ;-) (soweit zum Intuitiven). Drumherum nimmt die Funktion außerdem gleichmäßig und symmetrisch ab.. Deshalb heben sich die Integrale einfach weg (mathematische Begründung). Null sollte also stimmen! ;-)

Gruß
tagg

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