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Nix rumgepostet.
Probe-Prüfung Stochastik Uni Zürich Aufgabe 3
Aufgabe:
Eine Zufallsgrösse nimmt nur Werte auf dem Intervall [0, 1] an.
Die Dichte ist dort:
[mm]
f (x)= K5x^4 \ \ \ [/mm]
mit einer Normierungskonstanten K.
a. Berechnen Sie K.
b. Berechnen Sie den Erwartungswert dieser Zufallsgrösse.
c. Berechnen Sie die Varianz dieser Zufallsgrösse.
d. Berechnen Sie die Verteilfunktion dieser Zufallsgrösse.
Meine Lösungen:
a. Berechnung der Normierungskonstante K
Die Dichte etwas präziser geschrieben :
[mm]
f(x)=\begin{cases} K*5*x^4, & \mbox{wenn }0 \le \ x \ \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Das Integral der Dichtefunktion muss 1 sein.
[mm] \integral_{- \infty}^{\infty} {K5x^4 \ dx} \ = \ \integral_{0}^{1} {K5x^4 \ dx} \ = \ K * \integral_{0}^{1} {5x^4 \ dx} \ = \ 1 [/mm]
Da bereits
[mm] \integral_{0}^{1} {5x^4 \ dx} \ = \ 1 [/mm]
ist in der Folge auch
[mm] \underline{K \ = \ 1} [/mm]
b. Berechnung des Erwartungswertes dieser Zufallsgrösse
[mm]\mu \ = \ E(x) \ = \ \integral_{- \infty}^{\infty} {x*f(x) dx} \ = \ \integral_{0}^{1} {x*K5x^4 \ dx} \ = \
\integral_{0}^{1} {5x^5 \ dx} \ = \ \bruch{5}{6} \ = \ \underline{0.8333...} [/mm]
c. Berechnung der Varianz dieser Zufallsgrösse
[mm]\sigma^2 \ = \ V(x) \ = \ \integral_{- \infty}^{\infty} {(x \ - \ \mu)^2 \ * f(x) dx} \ = \
\integral_{0}^{1} {(x \ - \ \integral_{0}^{1}{5x^5 dx} )^2 \ * \ 5x^4 \ dx} \ = \ \bruch{5}{252} \ = \ \underline{0.01984}[/mm]
d. Berechnung der Verteilungsfunktion dieser Zufallsgrösse
[mm]
F(X) \ = \ P[X \ \le \ x] \ = \ \integral_{- \infty}^{x}{f(t) dt} \ = \ \integral_{- \infty}^{x}{K5t^4 dt} \ = \ \integral_{0}^{x}{5t^4 dt} \ = \ \underline{x^5} [/mm]
Eine nette Mathematikerin oder ein netter Mathematiker möge prüfen, ob sich da nicht ein Fehler eingeschlichen hat.
Dank und Grüsse aus Zürich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 So 24.07.2005 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Stefan
Das Integral macht tatsächlich nur ab Null einen Sinn.
War kein Denk- sondern schlichte ein Tippfehler.
Dank und Gruss
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