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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mi 24.06.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Die Funktion f sei definiert durch [mm] f(x)=\begin{cases} 0,5x²e^{-x}, & \mbox{für } x \ge 0 \\ 0, & \mbox{für } x<0 \end{cases}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass f eine Dichte einer gewissen Zufallsgröße X ist.
Berechnen Sie die Varianz von X. |
Hallo!
Laut Definition müsste dann ja [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1 [/mm] sein. Aber wie soll ich denn das berechnen?
Ich könnte jedoch noch die Verteilungsfunktion von X bestimmen, bringt mir das etwas?
Und bei der Varianz hab ich auch keine Ahnung- da gibt es ja für die verschiedenen Verteilungen verschiedene Formeln (Binomial, Poisson....) aber woher weiß ich denn hier, was es für eine Verteilung ist? Etwas exponential??
Besten dANK und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Mi 24.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin gigi
> Ich könnte jedoch noch die Verteilungsfunktion von X
> bestimmen, bringt mir das etwas?
> Und bei der Varianz hab ich auch keine Ahnung- da gibt es
> ja für die verschiedenen Verteilungen verschiedene Formeln
> (Binomial, Poisson....)
Nein, nein, das sind diskrete Verteilungen!
> aber woher weiß ich denn hier, was
> es für eine Verteilung ist? Etwas exponential??
![[]](/images/popup.gif) Da schau her.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mi 24.06.2009 | | Autor: | gigi |
woran siehst du in dem fall, dass es sich nicht um eine diskrete verteilung handelt?
und ich kann die ganze Aufgabe praktisch nur lösen, wenn ich weiß, dass es sich um die Erlang-verteilung handelt?
so gebe ich also einfach nur n=3 und [mm] \lambda=1 [/mm] an und habe gezeigt, dass f die Dichte einer Erlang-verteilung ist. Könnte man denn auch anders zeigen, dass es sich um eine Dichte handelt (ohne die Erlang-VT zu kennen?)
Gruß und Dank!
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> woran siehst du in dem fall, dass es sich nicht um eine
> diskrete verteilung handelt?
weil die Verteilung durch eine Dichtefunktion f beschrieben
ist, die für alle reellen x definiert ist
> und ich kann die ganze Aufgabe praktisch nur lösen, wenn
> ich weiß, dass es sich um die Erlang-verteilung handelt?
> so gebe ich also einfach nur n=3 und [mm]\lambda=1[/mm] an und habe
> gezeigt, dass f die Dichte einer Erlang-verteilung ist.
Das braucht man überhaupt nicht zu wissen, und die
Aufgabe ist sicher auch nicht so gedacht, dass man
zur Lösung vom Netz geholte Formeln nutzt.
> Könnte man denn auch anders zeigen, dass es sich um eine
> Dichte handelt (ohne die Erlang-VT zu kennen?)
So wie du schon gesagt hat, indem man das Integral
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}f(x)dx [/mm] tatsächlich berechnet. Dies geht mittels
partieller Integration.
Für die Berechnung des Erwartungswerts und der
Variation kommt man dann auf weitere Integrale.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:22 Do 25.06.2009 | | Autor: | gigi |
Morgen!
ALso genau das hatte ich bereits auch gemacht: f integriert und so F erhalten. ABer was muss ich tun, um zu zeigen, dass es sich bei f um eine Dichte handelt? Und du meintest, mit Integration erhalte ich die Varianz? WIe und was denn genau?
Danke und Tschüss
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Um zu zeigen, dass eine Funktion eine Dichte ist, musst du immer zwei Dinge zeigen:
1. Die Funktion ist immer [mm] \geq [/mm] 0
2. Das Integral über die Funktion ist =1
Um die Varianz zu berechnen, berechnest du erst
[mm] \mathbb{E}(X) [/mm] = [mm] \int [/mm] xf(x)dx und
[mm] \mathbb{E}(X^{2}) [/mm] = [mm] \int x^{2}f(x)dx. [/mm]
Es gilt nämlich: [mm] \mathbb{V}(X)=\mathbb{E}(X^{2}) [/mm] - [mm] \mathbb{E}(X)^{2} [/mm]
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> Um zu zeigen, dass eine Funktion eine Dichte ist, musst du
> immer zwei Dinge zeigen:
> 1. Die Funktion ist immer [mm]\geq[/mm] 0
> 2. Das Integral über die Funktion ist =1
>
> Um die Varianz zu berechnen, berechnest du erst
> [mm]\mathbb{E}(X)=\int[/mm] xf(x)dx und
> [mm]\mathbb{E}(X^{2})=\int x^{2}f(x)dx.[/mm]
>
> Es gilt nämlich: [mm]\mathbb{V}(X)=\mathbb{E}(X^{2})-\mathbb{E}(X)^{2}[/mm]
Es ginge auch ohne diesen "Verschiebungssatz",
direkt über die Definition der Varianz, die analog
wie im Fall diskreter Verteilungen definiert ist:
diskret: $\ [mm] \mathbb{V}(X)\,=\ \summe_{i=1}^{n}\,(x_i-\mathbb{E}(X))^2*\bruch{n_i}{n}$ [/mm]
stetig: $\ [mm] \mathbb{V}(X)\,=\integral_{-\infty}^{\infty}(x-\mathbb{E}(X))^2*f(x)\,dx$
[/mm]
Gruß Al
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Hallo,
eine Dichtefunktion zeichnet sich u.a. dadurch aus, dass die eingeschlossene Fläche 1 ist.
Bei der gegebenen Funktion handelt es sich um eine Fallunterscheidung.
Der untere Fall ist nur sehr bedingt interessant, da die Fläche hier ja zwangsläufig 0= konst. ist.
Beim oberen Fall sieht es hingegen anders aus.
Ich habe mal deine Funktion dargestellt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man kann jetzt bereits erahnen, dass die Fläche zwischen x-Achse und Funktion 1 ist. Da eine Ahnung aber keine saubere Feststellung ist, muss du diesen Sachverhalt rechnerisch nachweisen.
Dieses bedeutet konkret, dass du
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{\infty}{x²e^{-x} dx}=1 [/mm]
mittels partieller Integration herausfinden musst.
Gruß Spielgestalter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Fr 26.06.2009 | | Autor: | gigi |
HAllo und Danke!
Ich habe nun folgende 2 Probleme:
1. Wenn ich f(x) mit partieller Integration bearbeite, erhalte ich F(x)= [mm] -e^{-x}(0,5x²+x+1). [/mm] Benutze ich die allgemeine Form der Erlangverteilung und setze [mm] \lambda=1 [/mm] und n=3, so steht dann F(x)=1- [mm] e^{-x}(0,5 [/mm] x²+x+1). Das ist eben leider nicht ganz das gleiche und ich weiß nicht, wo mein Fehler liegen soll!?
2. Und wie soll ich denn ein Integral mit der oberen Grenze [mm] \infty [/mm] bestimmen?
Lg und Danke
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F= [mm] -e^{-x}(0,5x^2+x+1) [/mm] kann ich seit ein paar Sekunden bestätigen. Habe ich exakt genau so.
Danach müsste man an Limes denken.
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Grenzen beachten, an Limes denken und dann müsstest du auf eine Fläche von 1 kommen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:28 Sa 27.06.2009 | | Autor: | gigi |
ja, danke, ich komm mit meiner integration und dem limes genau auf den flächeninhalt von 1! ich versteh dann nur nicht, warum das mit der allg. form der erlang-verteilung nicht funktioniert!? oder habe ich da oben etwa falsch eingesetzt?
gruß und danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 01.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Do 25.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
um an die Antwort von Spielgestalter84 anzuknuepfen: Du kannst die relevanten Integrale bestimmen, indem du auf Eigenschaften der Gamma-Funktion zurueckgreifst.
vg Luis
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