Dichte-stetiger Zufallsvektor < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) X und Y haben die gemeinsame Dichte
[mm] f_{X,Y}(x,y) =\begin{cases} \bruch{1}{2\pi}e^{-\bruch{1}{4\pi}x^{2}-y}, & \mbox{für } -\infty < x < \infty , y\ge0 \\ 0, & \mbox{sonst. } \end{cases}
[/mm]
a) Wie lauten die Randdichten [mm] f_{X}(x) [/mm] von X und [mm] f_{Y}(y) [/mm] von Y?(Hinweis: man verwende die Dichtefunktion der Normalverteilung.)
2)Die Dichte eines Zufallsvektors (X,Y) ist gegeben durch
[mm] f_{X,Y} [/mm] = [mm] e^{-y} [/mm] , 0 < x < y < [mm] \infty [/mm] .
a) Man zeige, dass [mm] f_{X,Y}(x,y) [/mm] eine Dichte darstellt.
b) Geben Sie E(X) E(Y), Var(X) Var(Y) an (keine Rechnung notwendig) |
Hallo,
Bei 1 a) kann ich das Integral nach x nicht lösen, da gibt es sicha einen Trick(deswegen der Hinweis vermute ich) aber ich komm da irgendwie nicht drauf, vl kann mir das jemand auflösen.
Bei 2a) weiß ich nicht wie ich dass zeigen soll, hab in meinem Skript keine Formel gefunden, mit derer ich das beweisen könnte, vl kann mir hier jemand weiter helfen.
Für 2b) habe ich die Randdichten bestimmt, und dann die Integrale jeweils von 0 bist [mm] \infty [/mm] gelöst. Die Ergebnisse stimmen, aber inwiefern sind da keine Rechnungen notwendig.
Hoffe, jemand hat ein parr gute Tipps für mich.
mfg tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 So 07.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Tom,
1) f ist das Produkt einer Exponentialverteilung mit Erwartungswert 1 und
einer Normalverteilung mit Erwartrtungswert 0 und Varianz [mm] 2\pi.
[/mm]
2a) Zwei Dinge musst du zeigen:
(I) [mm] f(x,y)\ge [/mm] 0 fuer alle [mm] x,y\in\IR [/mm] (klar)
(II) [mm] \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx\,dy=1
[/mm]
2b) Warum verraetst du nicht wie die Randdichten aussehen. Vielleicht
kommen alte Bekannte heraus.
vg Luis
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Hallo, danke erstmal für die Antworte, ich hab aber gleich noch ein paar Fragen.
> Moin Tom,
>
> 1) f ist das Produkt einer Exponentialverteilung mit
> Erwartungswert 1 und
> einer Normalverteilung mit Erwartrtungswert 0 und Varianz
> [mm]2\pi.[/mm]
Ist es also generell ok, wenn ich statt zu integrieren einfach mal nachsehen aus welchen zwei bekannten Dichtefunktionen sich [mm] f_{X,Y}(x,y) [/mm] zusammensetzen lässt und dann, wenn ich nichts finden, integriere?
>
> 2a) Zwei Dinge musst du zeigen:
> (I) [mm]f(x,y)\ge[/mm] 0 fuer alle [mm]x,y\in\IR[/mm] (klar)
> (II)
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx\,dy=1[/mm]
>
Ich bekommen bei dem Integral immer [mm] \infty [/mm] raus...kannst du mir vl noch einen Tipp geben was ich hier falsch mache.
> 2b) Warum verraetst du nicht wie die Randdichten aussehen.
> Vielleicht
> kommen alte Bekannte heraus.
>
Ok, [mm] f_{X}(x) [/mm] = [mm] e^{-x} [/mm] und [mm] f_{Y}(y) [/mm] = [mm] y*e^{-y}
[/mm]
Ersteres ist eine Exponetialverteilung mit [mm] \lambda [/mm] = 1 somit sind E(X) und Var(x) = 1.
Die zweite Funktion würde ich als einen Dichtefunktion der Gammaverteilung ansehen,
mit [mm] \lambda [/mm] = 1 und a = 2, mit diesen Werten lässt sich dann E(Y)=Var(Y)=2 bestimmen.
Muss ich, wenn ich die Randdichten als 'alte Bekannte' identifiziere noch auf die Grenzen aufpassen, oder kann ich es immer so machen wie eben gerade?
> vg Luis
mfg tom
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 So 07.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Hallo, danke erstmal für die Antworte, ich hab aber gleich
> noch ein paar Fragen.
>
> > Moin Tom,
> >
> > 1) f ist das Produkt einer Exponentialverteilung mit
> > Erwartungswert 1 und
> > einer Normalverteilung mit Erwartrtungswert 0 und
> Varianz
> > [mm]2\pi.[/mm]
> Ist es also generell ok, wenn ich statt zu integrieren
> einfach mal nachsehen aus welchen zwei bekannten
> Dichtefunktionen sich [mm]f_{X,Y}(x,y)[/mm] zusammensetzen lässt und
> dann, wenn ich nichts finden, integriere?
Warum denn nicht? Nichts spricht gegen clevere Argumente.
>
> >
> > 2a) Zwei Dinge musst du zeigen:
> > (I) [mm]f(x,y)\ge[/mm] 0 fuer alle [mm]x,y\in\IR[/mm] (klar)
> > (II)
> >
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx\,dy=1[/mm]
> >
> Ich bekommen bei dem Integral immer [mm]\infty[/mm] raus...kannst du
> mir vl noch einen Tipp geben was ich hier falsch mache.
Ich vermute, dass du die Bedingung 0<x<y uebersiehst. Das Integral ist also
[mm] \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y}f(x,y)\,dx\,dy
[/mm]
>
> > 2b) Warum verraetst du nicht wie die Randdichten aussehen.
> > Vielleicht
> > kommen alte Bekannte heraus.
> >
> Ok, [mm]f_{X}(x)[/mm] = [mm]e^{-x}[/mm] und [mm]f_{Y}(y)[/mm] = [mm]y*e^{-y}[/mm]
>
> Ersteres ist eine Exponetialverteilung mit [mm]\lambda[/mm] = 1
> somit sind E(X) und Var(x) = 1.
> Die zweite Funktion würde ich als einen Dichtefunktion der
> Gammaverteilung ansehen,
> mit [mm]\lambda[/mm] = 1 und a = 2, mit diesen Werten lässt sich
> dann E(Y)=Var(Y)=2 bestimmen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Muss ich, wenn ich die Randdichten als 'alte Bekannte'
> identifiziere noch auf die Grenzen aufpassen, oder kann ich
> es immer so machen wie eben gerade?
>
Was denn fuer Grenzen? Du hast doch die Verteilungen identifiziert und gut.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
vg Luis
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