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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Di 29.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
HAllo!
Ich habe eine Frage zum Verfahren, wie man eine Diagonalmmatix [mm] C^{t}AC= \pmat{ c_{1} & ... 0 \\ ... \\ 0 & ... c_{n} }, [/mm] wobei zwischen [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{n} [/mm] Pünktchen stehen, die die anderen Zwischenelemente auf der Diagonalachse darstellen.
In der Vorlesung wurde folgendes Verfahren angegeben, das ich aber nicht ganz verstehe. Also:
OBdA sei Matrix A nicht von Diagonalgestalt. Sei i minimal mit [mm] a_{ij} \not=0 [/mm] für ein j>i:
A = [mm] \pmat{ a_{11} & ...0 \\...\\ 0 & a_{ii} & ...a_{in} \\ 0 & a_{ni} & ...a_{nn} }, [/mm] wobei wieder zwichen [mm] a_{11} [/mm] und [mm] a_{nn} [/mm] die Zwischenelemente auf der Diagonalachse liegen.
1.Fall : [mm] a_{ii} \not= [/mm] 0. Setze
C= [mm] \pmat{ 1 & ...0 \\...\\ 0 & 1 & \bruch{- a_{i,i+1}}{ a_{ii}} & \bruch{ -a_{in}}{ a_{ii}} \\ 0 & 0 & 1 \\ ...\\ 0 & 0 & 0 & 1}.
[/mm]
Dann spiegelt man die Matrix an der Diagonale um [mm] C^{t}, [/mm] also die transponierte Matrix zu finden.
Dann kann man [mm] C^{t}A [/mm] ausrechnen: [mm] C^{t}A= \pmat{ a_{11} & \\...\\ 0 & a_{ii} & ... a_{in} \\ 0 & 0 & ...* \\ 0 & 0 & ...*}, [/mm] wobei die * für beliebige Zahlen entstehen. Hier ist eben nur wichtig, dass unter [mm] a_{ii} [/mm] nur Nullen sind.
Dann ist dann bei [mm] C^{t}AC [/mm] eine Diagonalmatrix entstanden, d.h. die Werte rechts von [mm] a_{ii} [/mm] werden auch alle Null.
Den 1.Fall verstehe ich schon, aber ich verstehe den 2.Fall nicht, der den Fall [mm] a_{ii} [/mm] = 0, aber [mm] a_{jj} \not= [/mm] 0 für ein j>i.
Hier setze man C= [mm] \pmat{ 1 & ...0 \\...\\ 0 & 1 & ...0... \\ 0 & 0 & 1 \\...\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\...& ...& ... & 1}. [/mm] Hier betrachtet man das "Quadrat" 0-1-0-1 in der Mitte der Matrix.
Jetzt versteh ich nicht, wie man jetzt hier weiter vorgeht. Hier steht, man soll so vorgehen wie in Fall 1 , aber wie? Außerdem soll [mm] C^{t}AC [/mm] = CAC gelten, wenn man A durch Vertauschen von der i-ten mit der j-ten Zeile und Spalte umwandelt.
Ich verstehe den kompletten 2.Fall nicht. KAnn mir da jemand helfen, der das Verfahren versteht?
Danke,
Moe 007
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Di 29.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Moe!
$C$ ist ja im zweiten Fall eine Permutationsmatrix. Offenbar ist $C$ (daher) symmetrisch, d.h. es gilt [mm] $C^T=C$.
[/mm]
Multiplikation der Matrix $A$ von links mit $C$ bedeutet, dass die $i$-te und $j$-te Zeile von $A$ vertauscht werden. Multipliziert man dann die entstehende Matrix erneut -diesmal von rechts- mit $C$, dann werden auch in der enstandenen Matrix die $i$-te und $j$-te Spalte vertauscht.
Insgesamt wird auf jeden Fall das Element [mm] $a_{ii}$ [/mm] mit dem Element [mm] $a_{jj}$ [/mm] vertauscht, d.h. das "alte" [mm] $a_{jj}$, [/mm] was ja ungleich $0$ war, steht jetzt in der $i$-ten Zeile und $i$-ten Spalte. An der Stelle $(i,i)$ steht also jetzt ein Element, was nicht gleich $0$ ist und durch das man daher teilen darf. Diesen Vertauschungsvorgang nennt man "Pivotisieren". Die Situation von Fall 1 ist also hergestellt und wir können so fortfahren wie in Fall 1.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:46 Di 29.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
erstmal danke für die Erklärung! So hab ichs eigentlich auch verstanden und eine entsprechende Aufgabe so gelöst, abe rman hat es mir komplett weggestrichen und gesagt, es wäre falsch, obwohl ich nicht verstehen kann warum, denn ich hab das "Rezept" auch so befolgt.
Was lautet denn heir die gesuchte invertierbare MAtrix C, sodass [mm] C^{t}AC [/mm] Diagonalgestalt hat?
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 }
[/mm]
Meine MAtrix C lautet so, und die ist leider falsch, C= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Danke. Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Di 29.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Sorry, ich hab mich doch verrechnet, die gesuchte Matrix C lautet bei mir so:
C= [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0}, [/mm] aber wenn ich dann [mm] C^{t}AC [/mm] wieder zusammenmulitpliziere, erhalte ich keine Diagonalmarix, sondern folgende MAtrix, obwohl ichs Stephans Tipps befolgt habe: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 }, [/mm] und das ist ja keine Diagonalmatrix...
Ich versteh meinen Fehler immer noch nicht.:-(
Danke, Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Di 29.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Ok, habs selber lösen können. Braucht also keiner antworten.
Hab selber meinen Fehler gefunden.
Moe007
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