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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Di 20.07.2010 | | Autor: | pestaiia |
| Aufgabe | | Wann ist eine matrix diagonalisierbar? |
Hallo!
Ich schreib am samstag klausur und rechene gerade ein paar übungsaufgaben.
Dabei hab ich mir die frage gestellt wie ich am schnellsten sehe ob eine beliebige quatratische matrix diagonalisierbar ist.
ich weiß das eine symmetrische matrix diagonalisierbar ist. aber wie seh ich das wenn sie nicht symmetrisch ist. ich hab gelesen dass die eigenwerte paarweise verschieden sein müssen. was genau bedeutet paarweise?
PS: ich gebe bewusst kein konkretes bsp. an, weil ich gern wüsste wie ich allgemein vorgehen. damit ich nicht erst die hauptachsentransformation durchführe, und dann erst feststelle das es keine diagonalmatrix gibt.
MfG
Pestaiia
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Hallo pestaiia,
> Wann ist eine matrix diagonalisierbar?
> Hallo!
> Ich schreib am samstag klausur und rechene gerade ein paar
> übungsaufgaben.
> Dabei hab ich mir die frage gestellt wie ich am
> schnellsten sehe ob eine beliebige quatratische matrix
> diagonalisierbar ist.
> ich weiß das eine symmetrische matrix diagonalisierbar
> ist. aber wie seh ich das wenn sie nicht symmetrisch ist.
> ich hab gelesen dass die eigenwerte paarweise verschieden
> sein müssen. was genau bedeutet paarweise?
> PS: ich gebe bewusst kein konkretes bsp. an, weil ich gern
> wüsste wie ich allgemein vorgehen. damit ich nicht erst
> die hauptachsentransformation durchführe, und dann erst
> feststelle das es keine diagonalmatrix gibt.
Nun, um die Bestimmung des charakteristischen Polynoms und dessen Nullstellen, also der Eigenwerte wirst du nicht umhinkommen.
Wenn du, ausgehend von einer [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix (deren char. Poly. ja den Grad n hat) herausbekommst, dass das char. Polynom vollst. in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt, hast du gewonnen, dann ist die Matrix diagonalisierbar.
Denn du bekommst mit den n paarweise verschiedenen Eigenwerten automatisch eine Basis aus den dazugehörigen Eigenvektoren.
Denn: die alg. Vielfachheit (also die Vielfachheit als NST im char. Poy) ist für jeden Eigenwert 1.
Die geometr. ist [mm] $\le$ [/mm] der algebraischen und mindestens 1, also genau 1 (für jeden Eigenwert)
Damit ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume n, also ist die Matrix diagonalisierbar.
Wenn du aber einen Eigenwert mit Vielfachheit k>1 hast, musst du schauen, ob der zugeh. Eigenraum dieselbe Dimension wie die VFH (also k) hat.
Kriterium: A diagonalisierbar, wenn für jeden EW gilt: algebr. VFH = geom. VFH
Gruß
schachuzipus
> MfG
> Pestaiia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Di 20.07.2010 | | Autor: | pestaiia |
Vielen dank für die schnelle antwort.
dachte es gebe vielleicht noch eine andere möglichkeit.
dann hoff ich mal in der klausur kommt keine 4 kreuz 4 matrix dran
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Di 20.07.2010 | | Autor: | wieschoo |
-- bitte löschen --
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