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| Aufgabe | | [mm]Es sei f: R^3-->R^3, x-->A*x mit
A=\pmat{1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 2\\
2 & 1 & 0}
a) \textrm{Bestimmen sie alle Eigenwerte on f und die dazugehörigen Eigenräume}
b) \textrm{ist f^-1 diagonalisierbar und welche Eigenwerte hat f^-1}[/mm] |
Die Eigenwerte sind 0 und 1 als doppelter EW
Eigenräume sind (-1,2,0) und (1,-2,1)
Meines erachtens ist A nicht diagonalisierbar, weil die Eiegenwerte nicht paarweise verschieden sind.
Zu b) Ich weiß wirklich nicht, ob ich jetzt diMatrix invertieren soll und überprüfen muss, ob sie diagonalsierbar ist. Meine Frage ist nun, ob ich aus a) nicht folgern kann, dass f^-1 nicht diag. ist. Da wir ja die Diagonalmatrix aus den Eigenvektoren von A erhalten und zwar von rechts multiplizert und von links mit dem Inversen von der erstellten Matrix asu Ev.
Diagonalmatrix= T^-1* A* T
danke
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> Es sei [mm]f: \IR^3\to\IR^3, x\mapsto Ax[/mm] mit
[mm] A=\pmat{1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 0}
[/mm]
a) Bestimmen sie alle Eigenwerte von f und die dazugehörigen Eigenräume.
b) Ist [mm] f^{-1} [/mm] diagonalisierbar? Welche Eigenwerte hat [mm] f^{-1}
[/mm]
>
> Die Eigenwerte sind 0 und 1 als doppelter EW
Ok.
> Eigenräume sind (-1,2,0) und (1,-2,1)
Wenn du mal einen Rechenweg angeben würdest, wäre das überprüfen leichter. 
>
> Meines erachtens ist A nicht diagonalisierbar, weil die
> Eiegenwerte nicht paarweise verschieden sind.
Das ist kein Kriterium, mit dem du gegen Diagonalisierbarkeit entscheiden kannst.
A ist genau dann diagonalisierbar, wenn es insgesamt drei Basiselemente [mm] (=\dim\IR^3) [/mm] in den Eigenräumen gibt, da dann [mm] \IR^3 [/mm] eine Basis aus Eigenvektoren von A hat. (Zur Erinnerung: Die Summe von Eigenräumen ist direkt).
Bei deiner Matrix scheint es nur zwei Basiselemente zu geben, was sagt dir das?
>
> Zu b) Ich weiß wirklich nicht, ob ich jetzt diMatrix
> invertieren soll
A ist nicht invertierbar, da die Determinante 0 ist.
Insofern wundere ich mich, was [mm] f^{-1} [/mm] in dieser Aufgabe überhaupt sein soll. f ist hier kein Isomorphismus, eine eindeutige Umkehrabbildung existiert folglich gar nicht.
> und überprüfen muss, ob sie
> diagonalsierbar ist. Meine Frage ist nun, ob ich aus a)
> nicht folgern kann, dass f^-1 nicht diag. ist. Da wir ja
> die Diagonalmatrix aus den Eigenvektoren von A erhalten
> und zwar von rechts multiplizert und von links mit dem
> Inversen von der erstellten Matrix asu Ev.
>
> Diagonalmatrix= T^-1* A* T
>
>
> danke
>
Kamaleonti
P.S: Ich habe deine Formeln mal korrigiert. Wäre schön, wenn du sie in Zukunft ordentlich eingeben könntest
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