Diagonalisierbarkeit, T / T^-1 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag allerseits, und entschuldigt zunächst den wenig aussagekräftigen Titel.
Ich rechne derzeit ein wenig bezüglich einer Klausurvorbereitung.
Ich möchte eine diagonalmatrix zu
[mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 }
[/mm]
bestimmen. Ich komme soweit auch zurecht, habe allerdings doch eine Frage. Mein Ziel ist es ja, eine Matrix B zu finden, sodass
B = [mm] C^{-1} [/mm] * A * C
Ich suche mir also zwei eigenvektoren zu A um diese zu einer Matrix zusammenzusetzen. Die Matrix die ich nun erhalte ist diese [mm] C^{-1} [/mm] oder C ? Es müsste ja einen Unterschied machen zumal Matritzenmultiplikation nicht assoziativ ist oder?
Vielen dank für eure Mühe und lieben Gruß
MannMitHut
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> Guten Tag allerseits, und entschuldigt zunächst den wenig
> aussagekräftigen Titel.
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> Ich rechne derzeit ein wenig bezüglich einer
> Klausurvorbereitung.
> Ich möchte eine diagonalmatrix zu
> [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }[/mm]
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> bestimmen. Ich komme soweit auch zurecht, habe allerdings
> doch eine Frage. Mein Ziel ist es ja, eine Matrix B zu
> finden, sodass
> B = [mm]C^{-1}[/mm] * A * C
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> Ich suche mir also zwei eigenvektoren zu A um diese zu
> einer Matrix zusammenzusetzen. Die Matrix die ich nun
> erhalte ist diese [mm]C^{-1}[/mm] oder C ?
Du erhältst dann C (musst also so oder so invertieren  )
> Es müsste ja einen
> Unterschied machen zumal Matritzenmultiplikation nicht
> assoziativ ist oder?
Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ, aber nicht kommutativ (<-- ich glaube das meintest du).
Bei deinem Beispiel komme ich auf
[mm]C = \pmat{1 & 1\\1 & -1}[/mm]
und
[mm]C^{-1} = \bruch{1}{2}*\pmat{1 & 1\\1 & -1} = \bruch{1}{2}*C[/mm]
D.h. hier wäre es egal ob man C und [mm] C^{-1} [/mm] aus Versehen vertauscht. Ob das im Allgemeinen gilt: Ich glaube nicht, weil das ja ein Basiswechsel darstellt.
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Mi 24.09.2008 | | Autor: | MannMitHut |
Ja ich meinte natürlich kommutativ.
Ich komme auf dieselben Ergebnisse, bzw dann
B = [mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }
[/mm]
Ich denke dann ist es Zufall, dass es in diesem Beispiel keine Rolle spielt wie rum man multipliziert, im Allgemeinen müsste es aber ein Unterschied machen ob man durch die Eigenvektoren C oder [mm] C^{-1} [/mm] erhält.
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Hallo,
durch Aneinanderreihung der Eigenvektoren erhält man bei der Form
D = [mm] S^{-1}.A.S
[/mm]
immer S.
Stefan.
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