Diagonalisierbarkeit(Beispiel) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 So 01.05.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich versuche im Moment zu begreifen, wie ich zur Diagonalisierung einer Matrix komme. Ich habe beim suchen in den Archiven einige Fragen zu dem Thema gefunden, aber keine Beispiele an denen es mir deutlich wurde.
Also frage ich zunächst:
Der Ablauf zu Bestimmung ist doch dieser:
Charakteristisches Polynom -> Eigenwerte -> Eigenvektoren -> Eigenräume -> diagonale Matrix
Das charakteristische Polynom berechne ich mit [mm]det(A-\lambda * E)[/mm], die Eigenwerte sind dann die Nullstellen dieses und auf die Eigenvektoren komme ich, indem ich die Lösungen zu [mm](A-\lambda * E)* \vec x =0[/mm] berechne.
So weit habe ich kein Problem, aber nun bin ich mir nicht sicher, wie ich auf die Eigenräume komme. Bekam man diese, indem ich die soeben berechneten Eigenvektoren so verstehe, daß diese den Raum aufspannen?
Hätte ich dann nicht immer nur einen Eigenraum?
Um nun daraus die Diagonalmatrix B zu bilden, glaube ich, daß ich in der Lage sein muss die Formel [mm]T^{-1}AT = B[/mm] zu lösen und somit eine diagonalisierte Basis zu erhalten, deren Werte ungleich 0 den Eigenwerten entsprechen.
Allerdings bin ich mir hier SEHR unsicher, ob das überhaupt richtig ist, das ist nur was ich im Moment im Kopf habe - bitte korrigiert mich wenn ich falsch liege.
Wenn ich das also an einem Beispiel versuche (welches hoffentlich diagonalisierbar ist), komme ich so weit:
[mm]A = \pmat{ 3 &2 \\ 2 & 6 }[/mm]
Charakteristiches Polynom: [mm]x^2 - 9x + 14[/mm]
Eigenwerte: [mm]\lambda_{1} = 2 , \lambda_{2} = 7[/mm]
Eigenvektoren:[mm]v_{1} = \vektor{2 \\ -1} , v_{2} = \vektor{1 \\ 2}[/mm]
Wie komme ich jetzt weiter auf den/die Eigenräume und die Lösung zur Diagonalmatrix?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 So 01.05.2005 | | Autor: | SERIF |
hallo. Du bist fast fertig. Die Eigenvektoren sind jeweils die Eigenräume. Da du zwei verschiedene Eigenwerte hast, ist die Matrix A diagonilisierbar. Weil du auch zwei Verschiedene Nullstellen also Die Eigenwerte gefunden hast, darsu folg algebraische Vielfachheit ist 1. und geometrische Vielfachheit ist auch 1. Da du pro Eigenwert ein Vektor gefunden hast. Also
Die Vektoren sehen ja so aus.
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 2 } [/mm]
du findest jetz die Inverse zu dieser Matrix. Ich habe für dich gerechnet. die inverse sieht so aus.
[mm] \pmat{ 0,4&-0,2 \\ 0,2 & 0,4 }
[/mm]
wenn du Jetz in diser Reihen folge ( InverseMATRIX*A*MATRIX) multiplizierst kommt eine Matrix raus. Diese Matrix ist eine Diagonal matrix. Da siehst du auch die Eigenwerte. ist eigentlich nicht so schwer.
[mm] \pmat{ 0,4&-0,2 \\ 0,2 & 0,4 }* \pmat{ 3 & 2 \\ 2 & 6 }* \pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 7 & 0\\ 0 & 2 }
[/mm]
schöne Grüße.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mo 02.05.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Danke, das waren ja weniger Schritte als ich gedacht (befürchtet ;) ) hatte!
Aber eine Frage hätte ich doch noch dazu, da ich versuche den allgemeinen Weg zu Lösung zu verstehen und nicht nur dieses Beispiel:
Ist der Eigenraum zu lambda immer der Eigenvektor von lamda? Oder ist das in diesem Fall eine Ausnahme, da ich die Matrix zufällig "gut" gewählt hatte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Danke, das waren ja weniger Schritte als ich gedacht
> (befürchtet ;) ) hatte!
>
> Aber eine Frage hätte ich doch noch dazu, da ich versuche
> den allgemeinen Weg zu Lösung zu verstehen und nicht nur
> dieses Beispiel:
>
> Ist der Eigenraum zu lambda immer der Eigenvektor von
> lamda? Oder ist das in diesem Fall eine Ausnahme, da ich
> die Matrix zufällig "gut" gewählt hatte?
Nein, eigentlich müsste man auch sagen, dass der von dem Eigenvektor aufgespannte Raum der Eigenraum ist.
Du hast doch zu jedem Eigenwert den Kern der Matrix [mm] $(A-\lambda [/mm] E)$ berechnet. Angenommen dein einer Eigenwert kommt zweimal in deinem charakteristischen Polynom vor. Dann kann als Ergebnis für den Eigenraum etwas 1- oder 2-dimensionales auftreten. Mit anderen Worten, deine 2 Eigenvektoren die du erhälst sind linear unabhängig und nicht trivial. Dann ist deine Matrix diagonalisierbar und alle Eigenvektoren verwendest du wie im Beispiel für deine Transformationsmatrix (nebeneinander geschrieben).
Ist der Eigenraum nur 1-dimensional, so ist die Matrix leider nicht diagonalisierbar (aber man kann sie noch auf andere Gestalten bringen, z.B. obere Dreiecksmatrix).
in dem Fall, das immer verschiedene Eigenwerte auftreten im charakteristischen Polynom, so ist die Matrix stets diagonalisierbar und man kann so verfahren wie im Beispiel (Beweis: zu jedem Eigenwert gibt es mindestens einen Eigenvektor und damit einen eindimensionalen Eigenraum).
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") ,
Micha 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 So 01.05.2005 | | Autor: | SERIF |
ich habe eien Tipfehler. Deine diagonalmatrix sieht so aus.
[mm] \pmat{ 2 & 0\\ 0 & 7 }
[/mm]
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