Diagonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Do 14.02.2013 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Gegeben Matrix [mm] M=\pmat{0&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0}.
[/mm]
Wie kann man, ohne das charakteristische Polynom zu berechnen, gleich sehen, dass es vier linear unabhängige Eigenvektoren hat? |
Also dies ist ganz klar eine symmetrische Matrix und Rang(M)=1. Somit hat dimKernM=3 (Mit Dimensionsformel => dimV=4).
Da also dimKernM=3, gibt es 3 Eigenvektoren zum Eigenwert 0 und 1 zum Eigenwert 2 (da Spur(M)=2). Das ist mir eigentlich soweit klar.
Woher weiss ich, dass diese alle linear unabhängig sind?
Einfache Frage, aber suche wahrscheinlich zu weit...
Danke für eine Antwort.
mfg unibasel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Do 14.02.2013 | | Autor: | fred97 |
1. Möglichkeit:
Wegen dimKernM=3 hast Du zum EW 0 schon mal 3 l.u. Eigenvektoren.
Weiter gilt (das hattet Ihr sicher):
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind l.u.
2. Möglichkeit:
Deine Matrix ist diagonlisierbar.
FRED
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