Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 10.07.2005 | | Autor: | jennyf |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Aufgaben lautet:
Es sei A [mm] \in [/mm] M(n,n) eine komplexe Matrix mit [mm] A^k [/mm] = E für ein [mm] k\in \IN. [/mm] Zeigen sie, dass A diagonalisierbar ist.
Ich weiß ja, dass jede komplexe Matrix in Linearfaktoren zerfällt, also auf jeden Fall schon mal trigonalisierbar ist.
Außerdem hab ich mir gedacht, dass ja gilt:
S^-1AS =D (Diagonalmatrix )
[mm] \gdw (S^-1AS)^k=D^k
[/mm]
[mm] \gdw S^-1A^kS=D^k
[/mm]
[mm] \gdw S^-1ES=D^k
[/mm]
Aber ich komme irgendwie nicht so ganz weiter.
Wäre euch für eine Antwort sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 So 10.07.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Die Aufgaben lautet:
> Es sei A [mm]\in[/mm] M(n,n) eine komplexe Matrix mit [mm]A^k[/mm] = E für
> ein [mm]k\in \IN.[/mm] Zeigen sie, dass A diagonalisierbar ist.
>
> Ich weiß ja, dass jede komplexe Matrix in Linearfaktoren
> zerfällt, also auf jeden Fall schon mal trigonalisierbar
> ist.
> Außerdem hab ich mir gedacht, dass ja gilt:
> S^-1AS =D (Diagonalmatrix )
> [mm]\gdw (S^-1AS)^k=D^k[/mm]
> [mm]\gdw S^-1A^kS=D^k[/mm]
> [mm]\gdw S^-1ES=D^k[/mm]
>
Ich denke man kann das über den Satz über die Hauptraumzerlegung (vergl. Fischer S. 261) zeigen. Der besagt nämlich, dass sich die zugehöre Abbildung F zu eine Matrix in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil zerlegen lässt, wobei eine Form existiert, wo dann eben auch auf der Diagonalen die Eigenwerte stehen hat und in der Ecke den nilpotente Anteil.
Da deine Abbildung idempotent ist (also [mm] $A^k [/mm] = E$), heißt das, dass alle Elemente nicht nilpotent sein können, denn wenn sie einmal auf 0 abgebildet werden, haben sie keine Chance, jemals wieder das ursprüngliche Element zu werden. Also ist der nilpotente Anteil nur die 0 und damit ergibt sich nach dem Satz (und dem Nachstehenden Korollar) die behauptung, dass die Matrix diagonalisierbar ist.
Gruß MIcha 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Mo 11.07.2005 | | Autor: | jennyf |
ich weiß ja die Matrix ist komplex, also auf jeden Fall trigonalisierbar
[mm] \exists [/mm] also ein S, so dass SAS^-1=D+N
Auf [mm] A^k [/mm] übertragen: [mm] SA^kS^-1=(D+N)^k
[/mm]
[mm] \Rightarrow SES^-1=(D+N)^k
[/mm]
SES^-1=E² (???) [mm] \Rightarrow E²=(D+N)^k \Rightarrow [/mm] N=0
Würde die Lösung dann so stimmen???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 13.07.2005 | | Autor: | jennyf |
Ist meine Lösung im vorherigen Beitrag richtig oder kann man das auch anders aufschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mi 13.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jenny!
Ganz so leicht geht es nicht. Man müsste dann schon sauber aus
$E = [mm] \sum\limits_{i=0}^k D^iN^{k-i}$
[/mm]
(beachte, dass $N$ und $D$ in der additiven Jordanzerlegung kommutieren und daher der Binomische Lehrsatz greift)
folgern, dass $N=0$ gilt.
Ich habe aber eine bessere Idee und einen völlig neuen Lösungsvorschlag:
Für das Polynom [mm] $p(X)=X^k-1 \in \IC[X]$ [/mm] gilt ja:
$p(A)=0$.
Bekanntlich zerfällt $p$ über [mm] $\IC$ [/mm] in paarweise verschiedene (!) Linearfaktoren (es handelt sich bei den Nullstellen von $p$ ja gerade um die $k$ verschiedenen komplexen Einheitswurzeln).
Da das Minimalpolynom von $A$ ein Teiler von $p$ ist, zerfällt es ebenfalls in paarweise verschiedene Linearfaktoren.
Daraus folgt, dass $A$ diagonalisierbar ist.
Viele Grüße
Stefan
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