Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:35 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Phoebe |
Hallöchen Leute, ja... ich schon wieder... und schon wieder mit dem gleichen Thema. Ich hoffe ich nerve euch nich, aber hoffentlich kann mir trotzdem noch mal jemand helfen....
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Also, hier die Aufgabe:
Für welche a,b [mm] \varepsilon \IR [/mm] ist die Matrix C = [mm] \pmat{ -3 & 0 & 0 \\ 2a & b & a \\ 10 & 0 & 2 } [/mm] diagonalisierbar.
Jetzt habe ich für die Eigenwerte [mm] \lambda_{1} [/mm] = 3, [mm] \lambda_{2} [/mm] = b und [mm] \lambda_{3} [/mm] = 2 heraus. Wenn ich jetzt die Eigenvektoren ausrechne, bekomme ich immer nur den gleichen Vektor raus, nämlich: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2}... [/mm] Das kann ja nich hinhauen. Was habt ich denn nun schon wieder falsch gemacht bzw, gibt es denn keinen einfacheren Weg als über die Formel D = [mm] P^{-1} [/mm] C P ?
Gruß, Phoebe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:52 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Phoebe!
Du hast richtig gerechnet: die Eigenwert der dir gegebenen Matrix sind 2,3 und b. Allerdings weißt du nicht, ob diese verschieden sind.
Nehmen wir an, wir haben [mm] $b\not= [/mm] 2,3$. Damit besitzt das charakteristische Polynom von M drei verschiedene Eigenwerte - M ist daher diagonalisierbar. Sagt dir das Kriterium etwas? Wenn nicht, dann kommt hier eine kleine Erklärung: da $b,2,3$ verschiedene Eigenwerte von $M$ sind, gilt [mm] $Eig(M,2),Eig(M,3),Eig(M,b)\not= \{0\}$, [/mm] d.h. du kannst aus jedem der Eigenräume einen Vektor auswählen. Wie du (hoffentlich) weißt, sind Vektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig. Du erhältst also eine Menge von 3 linear unabhängigen Eigenvektoren. Da du über einem Vektorraum der Dimension 3 arbeitest, ist diese Menge eine Basis desselben. Bezüglich dieser Basis hat M Diagonalgestalt.
Nehmen wir nun an, es gilt $b=2$ oder $b=3$. Dann zerfällt [mm] $\chi_M$ [/mm] zwar immernoch komplett in Linearfaktoren (was eine notwendige BEdingung für die Diagonalisierbarkeit einer Matrix/einer linearen Abbildung ist), doch wissen wir nicht, ob wir, wie oben, eine Basis aus Eigenvektoren aus den Eigenräumen $Eig(M,2)$ und $Eig(M,3)$ auswählen können. Dies ist genau dann der Fall, wenn $dim(Eig(M,2))+dim(Eig(M,3))=3$ gilt. Genau dann nämlich kannst du zwei Basen der beiden Eigenräume wählen, sie vereinen, und erhältst somit eine linear unabhängige Menge von drei Vektoren, also eine Basis, bezüglich welcher M abermals Diagonalgestalt hat. Zu prüfen ist also lediglich, ob einer der beiden Eigenräume die Dimension 2 besitzt. Dazu errechnest du einfach den Lösungsraum von $M x=2x$ bzw. $M x=3x$ und prüfst seine Dimension; du musst ihn nicht einmal explizit ausrechnen - wenn du schon vorher den Rang der Koeffizientenmatrix des GLS ablesen kannst, kannst du über $dim(L)=3-Rang(A)$ die Dimension des Lösungsraumes ablesen.
Versuche dies bitte einmal.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
