Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Domi81 |
Hallo zusammen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe wieder eine wahnsinnig tolle Aufgabe erhalten, die lautet:
Man gebe ein Beispiel von zwei diagonalisierbaren linearen Abbildungen f,g: V --> V, die sich nicht simultan diagonalisieren lassen, d.h. es gibt keine Basis, bezüglich der die Matrizen zu f und g beide Diagonalgestalt besitzen.
Was bedeutet simultan diagonalisieren? Mit der weiteren Erklärung kann ich nichts anfangen. Es ist eine Aufgabe bezüglich Jordan-Chevalley-Zerlegung und Jordansche Normalform. Kann mir jemand helfen, dass ich überhaupt die Aufgabe verstehe? Vielen Dank schon mal
Domi
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Hallo Domi!
Eine Matrix heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren existiert.
Simultan diagonalisierbar bedeutet, dass du mit derselben Basistransformation beide Abbildungen auf Diagonalgestalt bringen kannst. Konkret heißt das.:
Du hast z.B. zwei beliebige reelle 3x3-Matrizen F,G (wichtig, die Matrizen müssen quadratisch sein zum diagonalisieren!). Dann suchst du eine 3x3-Matrix B mit folgenden Eigenschaften:
- Jede Spalte von B ist ein Eigenvektor beider Matrizen, diese sind linear unabhängig.
- [mm] $B^{-1} [/mm] * F * B = [mm] D_{1}$
[/mm]
- [mm] $B^{-1} [/mm] * G * B = [mm] D_{2}$, [/mm] wobei [mm] $D_{1}$ [/mm] und [mm] $D_{2}$ [/mm] Diagonalmatrizen sind. [mm] $D_{1}$ [/mm] hat die Eigenwerte von F auf der Hauptdiagonalen und [mm] $D_{2}$ [/mm] die EW von G.
Und du suchst nun zwei Matrizen, die keine gemeinsame Basis aus Eigenvektoren haben. Wie du Eigenvektoren findest, ist dir klar? Dann dürfte die Aufgabe jetzt lösbar sein. Falls nicht, frag nochmal.
Liebe Grüße,
Andreas
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Hallo!
Ich habe mir jetzt erstmal ganz simpel zwei 2x2-Matrizen konstruiert, die keine gemeinsamen Eigenvektoren haben. Wenn ich jetzt zeige, dass bzgl. einer Basis B die erste Matrix Diagonalgestalt hat, die zweite aber nicht, bin ich dann fertig? Wie argumentiert man, dass es keine andere Basis geben kann, sodass beide Matrizen Diagonalgestalt haben? (Liegt das an der Eindeutigkeit der Jordan-Normalform, denn die diagonalisierten Matrizen sind ja gewissermaßen auf Jordan-NF gebracht?)
- Marcel
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> Wenn ich jetzt zeige, dass bzgl. einer Basis B die erste
> Matrix Diagonalgestalt hat, die zweite aber nicht, bin ich
> dann fertig?
Nein, denn es kann ja immer noch eine andere Basis geben, bzgl. der beide Matrizen Diagonalgestalt haben.
Da das eine HA zur Übung ist, möchte ich dir die Gelegenheit zur Übung lassen. Einen Tipp hab ich noch:
Entweder überlegst du dir, wie beide Matrizen bzgl. der Eigenräume beschaffen sein müssen (das ist sicherlich die lehrreichere Variante).
Wenn du die Aufgabe so lösen willst, wie du sie begonnen hast (mit den zwei 2x2-Matrizen), nimm doch einfach das Gegenteil an, es gebe mindestens eine Basis
B=[{a,b},{c,d}], bzgl. der beide Matrizen Diagonalgestalt haben. Dann berechne einfach [mm] $B^{-1} [/mm] * F * B$ und [mm] $B^{-1} [/mm] * G * B$ und schau dir die resultierende Matrix an. Wenn mindestens eine davon keine Diagonalmatrix ist, bist du fertig.
Liebe Grüße,
Andreas
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