Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Blueman |
Hi
Ich bereite mich gerade auf eine mündliche LA-Prüfung vor und ich hätte ein Problem, wenn nach der Diagonalisierbarkeit einer Matrix gefragt würde. Ich würde dann das charakteristische Polynom ausrechnen. Angenommen es käme folgendes raus:
cp(x) = (x-i)(x+i).
Wäre die Matrix dann diagonalisierbar? Denn sie zerfällt ja in paarweise verschiedene Linearfaktoren, aber mit Eigenwerten aus [mm] \IC [/mm] . Wäre also bei einer reellen Matrix seltsam, oder? Was müsst ich da antworten?
Viele Grüße,
Blueman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo blueman,
die Diagonalisierbarkeit einer Matrix lässt sich mit Hilfe des cp überprüfen. Interessant wird es, wenn mehrfache Eigenwerte auftreten. Eine, wie ich zumindest finde, schöne Zusammenstellung habe ich ![[]](/images/popup.gif) hier gefunden.
Viel Erfolg,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Blueman |
Hallo und Danke für die Antwort.
Der Link ist gut, beantwortet aber trotzdem nicht ganz meine Frage: In "meinem" Polynom kommen ja keine mehrfachen Eigenwerte vor, sondern komplexe Eigenwerte. Die Frage ist halt, ob das egal ist, oder ob eine Matrix immer reelle Eigenwerte haben muss um diagonalisierbar zu sein.
Viele Grüße,
Blueman
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> In "meinem" Polynom kommen ja keine mehrfachen
> Eigenwerte vor, sondern komplexe Eigenwerte. Die Frage ist
> halt, ob das egal ist, oder ob eine Matrix immer reelle
> Eigenwerte haben muss um diagonalisierbar zu sein.
Hallo,
Deine Matrix ist diagonalisierbar über [mm] \IC, [/mm] denn hier hast Du die beidsen verschiedenen Eigenwerte i und-i.
Über [mm] \IR [/mm] ist sie nicht diagonalisierbar, denn das charakteristische Polynom zerfällt ja nicht über [mm] \IR [/mm] in Linearfaktoren, es ist ja [mm] x^2+1, [/mm] und hat keine (reellen) Nullstellen, also keinen Eigenwert, also nicht diagonalisierbar.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Mi 03.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
du solltest dann antworten, dass die diagonalisierbarkeit von dem körper abhängt über dem die matrix betrachtet wird: über [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] hat die matrix keinen eigenwert, kann also bestimmt auch nicht diagonalisierbar sein. allerdings kann man eine matrix mit reellen einträgen auch über dem körper der komplexen zahlen betrachten, da [mm] $\mathbb{R}^{2 \times 2} \subset \mathbb{C}^{2 \times 2}$ [/mm] und dort zerfällt das charakteristische polynom in paarweise verschiedene linearfaktoren die matrix ist mithin diagonalisierbar.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Blueman |
Alles klar! Vielen Dank, Andreas und Angela für die Hilfe.
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