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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | | Ist [mm] A=ab^{T}; a,b\in \IR^{n} [/mm] diagonalisierbar? |
Hi!
Ich hab da noch so eine Frage aus einem mündlichen Prüfungsprotokoll.
Fehlt hier eine darstellende Matrix oder eine Basis, so dass ich daraus eine darstellende Matrix machen kann?
Oder kann man das auch einfach aus einer Abbildung zeigen?
Ich hoffe, ihr könnt mir auch hier wieder helfen!
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Di 16.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist [mm]A=ab^{T}; a,b\in \IR^{n}[/mm] diagonalisierbar?
> Hi!
> Ich hab da noch so eine Frage aus einem mündlichen
> Prüfungsprotokoll.
> Fehlt hier eine darstellende Matrix oder eine Basis, so
> dass ich daraus eine darstellende Matrix machen kann?
> Oder kann man das auch einfach aus einer Abbildung
> zeigen?
>
> Ich hoffe, ihr könnt mir auch hier wieder helfen!
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix#Diagonalisierbarkeit:
"Zusammenfassend ergibt sich daraus die notwendige Bedingung, dass die Matrix A n linear unabhängige Eigenvektoren hat, der Raum, auf dem sie operiert, also eine Basis aus Eigenvektoren von A besitzt. Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, denn aus n gefundenen Eigenvektoren von A mit den dazugehörigen Eigenwerten lassen sich geeignete [mm] D_A [/mm] und S ganz direkt konstruieren.
Das Problem reduziert sich damit auf das Auffinden von ausreichend vielen linear unabhängigen Eigenvektoren von A."
Oder siehe auch:
http://www.mathebibel.de/matrix-diagonalisieren
Nebenbei: Für [mm] $\textbf{a}=(a_1,...,a_n)^T$ [/mm] und [mm] $\textbf{b}=(b_1,...,b_n)^T$ [/mm] folgt
[mm] $\textbf{a}*\textbf{b}^T=\vektor{a_1\\.\\.\\.\\a_n}*(b_1,.,.,.,b_n)=\pmat{a_1b_1, & a_1b_2, & ... ,&a_1b_n\\a_2b_1,&a_2b_2,&...,&a_2b_n\\ ..., & ..., & ..., & ... \\ a_nb_1,& a_n b_2, & ..., & a_n b_n}=(b_1*\textbf{a}, b_2*\textbf{a},...,b_n*\textbf{a})$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:42 Di 16.09.2014 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir mal im Falle n=2 die Matrix A an, wenn [mm] a=\vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] b=\vektor{0 \\ 1} [/mm] ist.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Di 16.09.2014 | | Autor: | Petrit |
Super, vielen Dank!
Ihr habt mir mal wieder richtig weitergeholfen!
Gruß, Petrit!
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