Diagonalisierbare Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, mal ne frage. Habe hier ne Aufgabe, wo man entscheiden muss, welche der Matrizen diagonalisierbar ist.
1. [mm] \pmat{ 10 & 1 \\ 0& 10 }
[/mm]
2. [mm] \pmat{ 10 & 1 \\ 0 & 11 }
[/mm]
3. [mm] \pmat{ 2 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 1 & 5 & 9 & 2 \\ 7 & 3 & 2 & 6 }
[/mm]
4. [mm] \pmat{ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 7 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
richtig sind 2. und 3., 1. und 4. sind nicht diagonalisierbar.
Jetzt meine Frage, gibts da irgendwie einen Trick, wie man das schnell erkennen kann,ohne große Rechnung???
weil ich versteh nicht ganz, was der unterschied bei 1. und 2. ist, ohne das zu rechnen.
bei der letzten würde ich sagen, die ist nicht diagonalisierbar, weil die Det. ja null ist und außerdem ist die Matrix Nilpotent. aber bei der dritten weiß ich z.b. wieder nicht, wie man das so schnell sieht.
Was gibt es so für wichtige Sachen, die man sich umbedingt merken sollte für diago. Matrizen?
z.b. kann doch die det einer diga. Matrix nie null sein.
diga. Matrizen müssen ja auch immer vollen rang haben, oder?
gibt es von solchen aussagen noch mehr?
und dann noch eine kleine andere Frage.
ich habe öfter hier sowas gesehen, eine Matrix A und man soll die Matrix [mm] D=B^{-1}*A*B [/mm] bestimmen. Jetzt meine Frage, schreibt man das [mm] B^{-1}*A*B [/mm] bei Diagonalmatrizen oder nur bei der JNF? Oder sogar in beiden Fällen?
danke für antworten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 So 06.04.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
diagonalisierbar ist eine Matrix genau dann, wenn sie eine Basis aus Eigenvektoren hat, d.h. wenn das charakteristische Polynom in Lienarfaktoren zerfällt und für jeden Eigenwert dei algeraosche Vielfachheit gleich der geometrischen ist.
Im Fall 1. hat die Matrix den doppelten Eigenwert 10,
im Fall 2. hat sie die einfachen Eigenwerte 10 und 11.
Im Fall 2. sind die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] die Basis aus Eigenvektoren, im Fall 1. ist nur [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] Eigenvektor.
Im Fall 3 ist die Matrix symmetrisch, also diagonalisierbar (die symmetrischen Matrizen sind auch die einzigen denen man das ansieht)
Im Fall 4 hat die Matrix maximal den Rang 3, es kann also keine Basis aus Eigenwerten geben.
Die Schreibweise [mm] D=B^{-1}AB [/mm] besagt, dass D und A ähnlich sind, d.h. sie haben z.B. die gleichen Eigenwerte.
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Hi. danker erstmal.
Die Schreibweise $ [mm] D=B^{-1}AB [/mm] $ besagt, dass D und A ähnlich sind, d.h. sie haben z.B. die gleichen Eigenwerte.
d.h. sei A eine Matrix und wir nehmen an D sei die Diagonalmatrix und C die JNF.
dann haben C, D und A immer die gleichen EW, weiß ja alle drei Matrizen ähnlich sind, oder?
und dann nochmal eine andere kleine Frage.
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] sind diese Matrizen immer diagl. weiß jeweils immer 0 und 1 EW sind??
und zulest, woran erkennt man das so schnell?
Im Fall 2. sind die Vektoren $ [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] $ und $ [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] $ die Basis aus Eigenvektoren, im Fall 1. ist nur $ [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] $ Eigenvektor.
danke
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>> Die Schreibweise [mm]D=B^{-1}AB[/mm] besagt, dass D und A ähnlich
>> sind, d.h. sie haben z.B. die gleichen Eigenwerte.
>
> d.h. sei A eine Matrix und wir nehmen an D sei die
> Diagonalmatrix und C die JNF.
>
> dann haben C, D und A immer die gleichen EW, weiß ja alle
> drei Matrizen ähnlich sind, oder?
Hallo,
ja, ähnliche Matrizen haben diesselben Eigenwerte.
Wenn A ähnlich zu einer Diagonalmatrix D ist, ist D doch schon die JNF. Es sind also D und C gleich.
>
> und dann nochmal eine andere kleine Frage.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] sind diese
> Matrizen immer diagl. weiß jeweils immer 0 und 1 EW sind??
Wenn Du eine nxn-Matrix Hast mit n paarweise verschiedenen Eigenwerten, ist diese Matrix diagonalisierbar.
Das garantiert Dir ein Satz, welcher etwas darüber erzählt, unter welchen Umständen Eigenwerte garantiert linear unabhängig sind. (Nachschlagen!)
>
>
> und zulest, woran erkennt man das so schnell?
Es sind Dreiecksmatrizen, und die haben auf der Diagonalen die Eigenwerte stehen. (Denk an die Berechnung v. Determinanten von Dreiecksmatrizen.)
>
> Im Fall 2. sind die Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> die Basis aus Eigenvektoren, im Fall 1. ist nur [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> Eigenvektor.
Worüber sprichst Du gerade? Nicht über Dein kleines Beispiel, oder?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Mo 07.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
hi. ne zum schluss war das ne frage zu der aussage von zahnlos, aber egal. hat sich alles schon erledigt.
vielen dank euch.
gruß
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Mir ist gerade nochmal was eingefallen.
Wenn eine Matrix nicht diagonalisierbar ist, dann kann sie aber trotzdem eine eine JNF haben haben oder??
Und wenn Sie diagonalisierbar, dann hat sie ja eh eine JNF. Nur dazu auch noch eine kleine Frage. Ist die Diagonalmatrix einer Matrix = JNF???
oder können die verschieden sein, weil die JNF hat ja auch noch 1 auf der Nebendiagonalen, wenn das so heißt.
also meine sowas:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1} [/mm] kann ja eine JNF sein, wenn ich einen Jordanblock der Größe zwei habe und die geo. Viel=1 ist. Aber bei einer Diagonalmatrix würde es ja oben rechts diese 1 nicht geben.
Also meine Fragen dann nochmal konkret.
1. Aus der JNF folgt nicht, dass eine Matrix A diagonalisierbar ist.
2. Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, dann ist diese Diagonalmatrix auch ihre JNF und auf der Nebendiagonalen wird es keine 1 geben, d.h. alle EW haben eine geo. Viel. von 1?
gruß
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> Wenn eine Matrix nicht diagonalisierbar ist, dann kann sie
> aber trotzdem eine eine JNF haben haben oder??
Hallo,
ja, sofern Ihr charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
>
> Und wenn Sie diagonalisierbar, dann hat sie ja eh eine JNF.
> Nur dazu auch noch eine kleine Frage. Ist die
> Diagonalmatrix einer Matrix = JNF???
Ja.
>
> oder können die verschieden sein, weil die JNF hat ja auch
> noch 1 auf der Nebendiagonalen, wenn das so heißt.
Diese Einsen hat die JNF aber nur, wenn die Matrix nicht diagonalisierbar ist.
>
> also meine sowas:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1}[/mm] kann ja eine JNF sein, wenn ich
> einen Jordanblock der Größe zwei habe und die geo. Viel=1
> ist. Aber bei einer Diagonalmatrix würde es ja oben rechts
> diese 1 nicht geben.
Dein Beispiel ist eine Matrix, deren cP zerfällt, [mm] P_(x)=(x-1)^2, [/mm] die aber nicht diagonalisierbar ist.
Es hat nämlich der Eigenwert 1 die algebraische Vielfachheit 2, jedoch die geometrische ist nur 1.
(Die Matrix oben ist gleichzeitig ihre JNF.)
>
> Also meine Fragen dann nochmal konkret.
>
> 1. Aus der JNF folgt nicht, dass eine Matrix A
> diagonalisierbar ist.
Wenn die JNF eine Diagonalmatrix ist, ist die Matrix diagonalisierbar, und wenn die JNF irgendwelche "Nebeneinsen" hat, ist es die JNF einer nichtdiagonalisierbaren Matrix.
>
> 2. Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, dann ist diese
> Diagonalmatrix auch ihre JNF
Ja.
> und auf der Nebendiagonalen
> wird es keine 1 geben,
Genau
> d.h. alle EW haben eine geo. Viel.
> von 1?
Nein. Bei allen Eigenwerten ist die algebraische Vielfachheit = der geometrischen.
Gruß v. Angela
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